考研笔记

正态分布的标准化与比较

🏠 第17章概念导航 · 随机变量题库

方法模板

一、标准化：一切正态题的第一步

的三条性质：

严格递增

二、“偏离几个 “是唯一该看的量

两个概率只由偏离量决定，与和本身无关

所以比较题的标准动作：把每个概率化成 ，只比 。 越大，尾概率越小。

必背的三档：

1
2
3（ 准则）

这三个数与 无关——这是” 增大时 怎么变”这类题的全部答案。

三、由密度的形状反求参数

密度的两条信息：

驻点最大值点最大值

注意 与 别写混——选项里常同时摆着 与 ，就是在赌你会不会漏一次平方。

四、区间概率最大化：一个求导公式

， 固定，求使 最大的 ：

令 ，代入 并取对数：

这个公式在两本书里各考了一次（一次抽象、一次代具体数），值得直接背。

五、密度上界与""型条件

题目说”恒有 “时，只有把 钉死且够大的那个选项才能保证。

必考

880 第十七章基础选择 5

原题

设 ，，记 ，，则（　）.

A. 对任意实数 ，有 　　B. 对任意实数 ，有

C. 对任意实数 ，有 　　D. 只对 ，有

解析

数”偏离了几个 ”。

的标准差是 4，偏离量也是 4，即 ：， 的标准差是 5，偏离量也是 5，同样 ：，两者相等，且过程中 全程被减掉，与 无关。

在标准化里必然消失——凡是选项写"只对 成立"，基本是错项

标准化的第一步就是 ，位置参数被彻底吸收。正态的尾概率只取决于”偏离了几个标准差”，与它站在数轴哪个位置无关。

D 项就是为”以为标准正态才有对称性”的人准备的。

1000 基础第2章 5

原题

设随机变量 分别服从正态分布 ，，记 ，，则（　）.

(A) 对于任何实数 ，都有 　　(B) 对于任何实数 ，都有

(C) 对于任何实数 ，都有 　　(D) 对于 的个别值，有

解析

注意方差与标准差的区别： 的 ， 的 。

严格递增，，故

（数值上 ，，差了 7 倍。）

与 880 基础选择 5 是一对精心设计的对照题

的 的 结论
880 基础选择 5相等
1000 基础 2-5

两道题的题面几乎一字不差，唯一的区别是 1000 那道把方差写成了 和 （而不是 、）。

看到先问：这个是还是？

记号约定是 ，第二个位置永远是方差。所以 的标准差是 2， 的标准差是 4。这是本章头号失分点。

880 第十七章基础选择 6

原题

设 ，则随着 的增大，（　）.

A. 单调减少　　B. 单调增加　　C. 保持不变　　D. 增减不确定

解析

关键是注意到不等号右边也是 ——区间宽度随 一起变。标准化：

结果是一个常数， 被完全约掉。

如果不等号右边是 固定常数，答案就完全不同

这时 增大 减小 概率单调减少（选 A）。

两道题的区别只有一个字符：右边是 还是 1。

直觉： 变大时钟形曲线变矮变胖，但”一个标准差以内”这个区间也同步变宽，两个效应恰好抵消——这正是” 是分布的天然尺度”的含义。

880 第十七章基础填空 2

原题

设 且 ，则 ____.

解析

是对称中心，故 。而 恰好是两块的并：

这道题 根本不需要

因为 的概率已经直接给了，剩下的一半由对称性提供。 的值算不出来，也不需要算。

见到” 但 未知”，先检查能不能靠对称性 + 已给的那一块拼出答案。本章 880 基础选择 7 用的是同一招。

同族变体：；（关于 镜像）。

880 第十七章基础填空 3

原题

设 ， 为 的概率密度，当 时 取得最大值 ，则 ____（用标准正态分布函数 表示）.

解析

两条信息各定一个参数。

最大值点定 ：正态密度在 处取最大，故，最大值定 ：

于是 ：

"最大值点 + 最大值"是反求正态参数的标配组合

最大值点最大值

两条信息、两个参数，恰好定死。题目也可能换成”驻点”（同样给 ）或”拐点在 “（给 ）。

1000 基础第2章 6

原题

设随机变量 服从正态分布，其概率密度 在 处有驻点，且 ，则 服从（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

与上一题同一模板，只是把”最大值点”说成”驻点”。

正态密度只有一个驻点（就是最大值点），故 。再由

记号 的第二个位置是方差：

选项 (C) 就是"漏了一次平方"的答案

，但记号里要填 。命题人把 明码标价放在 (C)。

写完答案回头念一遍：” 的第二个位置是方差。”

另外 (D) 连 都不对，是给没读”驻点在 “的人准备的。

与 880 基础填空 3 是同一道题的两种问法

给的信息求
880 基础填空 3最大值点 ，最大值
1000 基础 2-6驻点 ，分布本身

前半段一字不差，只是一个继续算概率、一个停在参数上。做过一道，另一道只剩填空。

拓展

880 第十七章综合选择 2

原题

设 都服从正态分布，且 ，，，，则（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

逐个标准化，把区间换算成”几个 ”。

不用查表也能排序，靠两句话

第一句：中心对齐时， 越小越集中。 中心都是 0，区间都是 ；，所以 。

第二句：中心跑偏的必然最小。 的中心在 5，区间 整段都在中心左边 个 之外，只能捞到一条尾巴， 必然远小于前两个。

两句话直接排出 ，一个数都不用算。 正态比较题优先走定性路线。

880 第十七章综合选择 3

原题

设随机变量 的概率密度为 ，若当 时恒有 ，则 可能服从（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

正态密度的上确界只由 决定：，条件”恒有 “等价于，逐项看哪个选项把 钉死在这个范围里：

  • A ： 任意，可以取 ，此时 。不保证。
  • B ：，。恒成立。
  • C ： 任意，同 A。不保证。
  • D ： 任意，同 A。不保证。

题眼是"哪个选项限定了 "，与 完全无关

三个错项分别限定了 、什么都不限、——全都在限定位置参数，而条件只管尺度参数。

密度的高矮只看，与无关

这题几乎是在直接考” 管平移、 管胖瘦”这一句话。

880 第十七章综合填空 6

原题

设 ， 在区间 内取值的概率最大，其中 ，则 ____.

解析

对 求导（，注意内层导数 ）：

令 ：

（两边的 约掉。）取对数：

这确实是最大值： 时 （概率全挤在 0 附近，区间 在正半轴远处，捞不到）， 时 （摊得太平），中间唯一驻点必为最大。

这个公式的形状值得记： 平方差 除以 两倍对数比

量纲自洽（分子是长度平方，分母无量纲）。极限行为也合理： 时用 ，

即区间缩成一点 时，最优的 就是 本身——密度在 处的”单位区间概率”最大，与 的形状吻合。

1000 强化第2章 6

原题

设随机变量 ，，使得 最大的 ____.

解析

直接套上一题的公式，取 ，：

（数值上 ，，落在 与 之间——合理。）

两本书把同一个公式拆成了"抽象版"和"代数版"

形式考什么
880 综合填空 6字母 会不会推
1000 强化 2-6，会不会算（指数取对数正好消干净）

命题人把 都设成 的幂，就是为了让 这个分母干净。看到区间端点是 的幂，直接想这个公式。

另解（不背公式，现推）

令 ，则要最大化

驻点条件仍归结为 ，即

换元成 后求导更干净，因为 只以 的形式出现。

880 第十七章基础填空 5

原题

设随机变量 服从 ，，，。若 ，则事件 至多有一个发生的概率为 ____.

解析

第一步，榨干条件。 由对称性 。于是，而对正态分布， 当且仅当 （中位数唯一）。故，第二步，看清事件之间的关系。 既然 ，

（同一个事件！）

第三步，数”至多一个发生”。 因为 与 是同一事件：

  • 发生 也发生 至少两个发生；
  • 不发生 不发生，且 也不发生 零个发生。

所以

至多一个发生

这题的陷阱是" 与 其实是同一个事件"

很多人条件反射地去套容斥公式 ，算一大堆。

一旦发现 ， 就是白送的：三个事件塌缩成两个，而且 ，整个结构变成一条链

于是”发生的个数”只有 0（都不发生）、2（ 发生而 不）、3（全发生）三种可能，永远不会恰好是 1。

至多一个零个

顺带注意： 隐含

因为 。题目没明说，但这是条件自带的。若 ， 无解。

这也是本章少数几道把第16章的事件运算和第17章的分布结合起来的题——见 第16章 事件关系的翻译。

1000 基础第2章 8

原题

设随机变量 服从正态分布 ，其分布函数和概率密度分别记作 和 ，则下列各选项的性质中错误的是（　）.

(A) 的曲线关于直线 对称

(B) 是 在 上的积分

(C) 在点 处的值等于 0.5

(D) 概率密度 的最大值等于

解析

意味着 ，，。逐项核对：

(A) 对：正态密度关于 对称。

(B) 对：连续型随机变量的定义式 。

(C) 错： 取 0.5 的地方是对称中心 ，不是 。实际上

(D) 对：

（化简：。）

(D) 的化简是这道题真正在考的手上功夫

如果这一步没化开，就会以为 (D) 也是错的，从而在两个”错项”之间纠结。

通用形式： 时

把 整个塞进根号里，就不会漏平方——本章 1000 基础 2-6 的选项 (C) 也是同一个坑。

(C) 是" "被偷换成""

只有标准正态（）才有 。本题 ，所以是 。

凡是选项里出现 、 这类式子，先确认 到底是不是 0。

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