考研笔记

对称性与分布函数恒等式

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方法模板

一、一句话：对称中心把全部概率对半分

若密度关于 对称，即，则

第二条是本节唯一要记的公式，它把”左边一段”与”右边对称的一段”直接换算。

推导（一行）：对称，（连续型时 ，所以 与 不必区分。）

二、三种题面写法，都是同一件事

题面对称中心
型：对称中心是先把两边的自变量摆平

更稳的做法：令两边自变量相等解出对称轴。由 ，取 、，则 ，中心就是 1。

三、从”某段积分值”倒推 的值

题目常给 这类信息，标准动作是摊到对称轴两边：

四、 的图像特征（正态专用）

对 ：

对象特征点
的最大值点，最大值
的拐点
的拐点
且在两侧变号是的拐点

的最大值点 = 的拐点——这条对任何单峰对称密度都成立，不限于正态。

必考

880 第十七章基础选择 2

原题

设随机变量 的概率密度为 ，且 ， 的分布函数为 ，则对任意实数 ，有（　）.

A. 　　B.

C. 　　D.

解析

对称中心 ，故 ，且

再把 拆开：，代入 ：

其余三项：

  • A：差了 ，是把 误写成 （漏了 这一半）。
  • C：由 ，，而 C 说的是 。两者相等要求 ，只在特定 成立。
  • D： 意味着 是偶函数——分布函数单调不减，不可能是偶函数（除非退化）。

"密度是偶函数" "分布函数是偶函数"

密度对称，分布函数是”中心对称”： 的图像关于点 中心对称，写成公式就是 。

D 项把”关于 轴对称”套到 上，是本题最有诱惑力的错项。记住 单调不减，任何”偶函数”型结论都是错的。

三条对称恒等式，串起来记

后两条相加相减可以互推。第三条就是 ，在正态里就是 。

880 第十七章基础选择 7

原题

设 为随机变量 的概率密度，且 ，， 的分布函数为 ，则 .

A. 0.1　　B. 0.2　　C. 0.3　　D. 0.4

解析

第一步，定对称中心。 说明密度关于 对称，故，第二步，把已知的积分”镜像”过去。 区间 关于 的镜像是 ，两段积分相等：，第三步，倒推。

画一条数轴，把对称轴标出来，答案自己就浮出来了 

         0.4      0.4
      ┌────────┬────────┐
 ─────┼────────┼────────┼─────
      0        1        2
           对称轴

左边整块 是 ，其中 占 ，剩下的 就是 。

对称题一律画图，不要硬套公式。

别把 直接当成

选项 D 的 就是给”直接把积分当分布函数值”的人准备的。分布函数是从 累起来的，任何一段积分都只是”增量”。

880 第十七章综合填空 2

原题

设随机变量 ，其中 ， 为 的分布函数，则 ____.

解析

正态密度关于 对称，而 与 关于 恰好对称（偏离量都是 ）。直接套恒等式：

取

另解（标准化，看得更清楚）

而标准正态满足 ，故和为 1。

答案与 、、 全都无关——这是对称题的典型标志

只要两个自变量关于对称中心镜像，结果恒为 1。

常见变体（都是同一条）：

看到”两个自变量关于 对称”就直接写 1，不要标准化再算。

拓展

880 第十七章综合填空 1

原题

设随机变量 ，， 为其分布函数曲线 的拐点，则 ____， ____.

解析

关键是想清楚求的是谁的拐点。 题目问的是 （分布函数）的拐点，不是密度的拐点。，所以 的拐点 变号处 的极值点。

正态密度在 处取唯一最大值，且 在 左侧为正、右侧为负（确实变号），故，对应的纵坐标：

（对称中心）

别答成 ——那是密度的拐点

两组”拐点”必须分清：

曲线拐点位置纵坐标
（密度）
（分布函数）

密度的拐点是 的几何含义（钟形曲线由凸转凹的地方，离中心恰好一个标准差）；分布函数的拐点是 的几何含义（S 形曲线爬升最快的地方）。

验证密度的拐点：，零点在 。

这条对任何单峰对称密度都成立

不需要正态：只要 关于 对称且在 处取最大值， 的拐点就是 。

的 S 形曲线里， 决定拐点横坐标， 决定拐点处的斜率（， 越小越陡）。这个图像在第20章中心极限定理里会反复出现。

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