考研笔记

认出分布：配方、参数反解与方差的定性比较

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方法模板

一、本节的唯一思想：不算积分，先认人

给一个密度或分布律，别急着代定义式积分。先问一句：这是我认识的分布吗？ 认出来了，期望方差直接查表；认不出来再动笔。

认出分布查表得硬积分

这一节的九道题，没有一道需要真正做积分。

二、正态的配方模板（背死）

推导只用一次配方：，与标准形 对照即得 。

记忆口诀：

  • 是 系数（去掉负号）的倒数的一半——注意是 ，不是 ，也不是 ；
  • 是”一次项系数除以两倍二次项系数”，和高中求抛物线顶点横坐标 一模一样（这里因为已经带了负号，所以是 ）。

常数 不参与定 ——它由归一化自动确定：

所以题目若要求 ，就用这一条；若只问 ， 看都不用看。

三、离散型的归一化反解

分布律里带未知常数，第一步永远是 ：

形状用的级数认出的分布
泊松
泊松
等比 几何

四、由 、 反解二项分布的参数

先做除法拿到 ，再回代拿 ，顺序不能反。这个”相除消 “的动作对任何两参数分布都好使。

顺带记住一条判别：二项分布必有 （因为 ）。若题目给的 ，就绝不是二项分布——很可能是泊松（）或负二项。

五、方差的定性比较：看质量离中心多远

它度量的是概率质量到中心的平均平方距离。于是在同一区间上比较几个密度时，根本不用算积分：

质量越往两端堆方差越大质量越往中间堆方差越小

在 上，三个对称密度的方差是一把标尺（本节 1000 基础 3 就考这个）：

尖峰三角往中间堆均匀不偏不倚形往两端堆

六、 是个不等式工具

等号成立当且仅当 几乎处处等于常数。这是 Cauchy–Schwarz 不等式的特例，也是本章唯一一个”恒成立”的不等关系——凡是选项里出现 与 的比较，答案就是它。

必考

880 第十九章基础选择 2

原题 设随机变量 ，且 ，，则（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 用模板第四条，相除消 ：

回代 。选 B。

另解（代入验算，选择题更快） 只需验 一项就能筛掉三个：A 给 （✗），C 给 （✗），D 给 （✗），B 给 （✓）。一个乘法定胜负。

先算 是通用动作

二项分布 ，泊松 ，几何 …… 这个比值是分布的”指纹”，一眼分清三种离散分布。见 常见分布数字特征表。

880 第十九章基础选择 3

原题 设 与 均存在，则（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 由方差的计算式，选 A。B 恒假。

C、D 是同一个陷阱的两面： 与 之间没有固定大小关系，因为 的取值可以跨越 ：

  • 取 ：，此时 C 成立、D 不成立；
  • 取 ：，此时 D 成立、C 不成立。

一个常数随机变量就同时枪毙了 C 和 D——这是构造反例最省力的起手式。

A 的等号什么时候取到

，即 退化为常数。所以 A 里的 不能改成 。 这条”方差为零 退化”在 $\rho$ 的线性不变性与 $|\rho|=1$ 里是主角： 的证明就是对 用它。

880 第十九章基础选择 8

原题 设袋中有 6 只红球、4 只白球，任意摸出一只球，记住颜色后放回袋中，共进行 4 次，设 表示摸到红球的次数，则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 “放回”两个字是全部题眼：每次摸球互不影响、成功率恒为 ，这正是 重伯努利试验：

选 C。

另解（指示变量，不需要认出二项分布） 令 表示第 次摸到红球，则 ，且，期望的可加性不要求独立，所以这个做法连”放回”都不需要——把题目改成不放回（超几何分布），答案仍然是 。这个惊人的事实是下一节的主线，见 指示变量法。

放回与不放回：期望相同，方差不同

的方差是 ；不放回（超几何）的方差要乘一个有限总体修正因子 ，得 ——更小。 直觉：不放回时抽样”自我平衡”（抽走一个红球，下次红球变少），波动被抑制。期望不受影响，方差受影响。

880 第十九章基础填空 2

原题 设随机变量 的概率密度为 ，则 ____.

解析 指数上是二次式，配方认正态：，于是 。与标准形对照，，得

（验算常数： ✓，与题给系数吻合，说明认对了。）

最后用平方期望的分解式：

是本章使用频率最高的一个变形

它把”二阶原点矩”换成”方差 + 一阶矩的平方”。凡是看到 、、，第一反应就是拆成这个形式，因为查表能查到的是 和 ，不是 。 本节的 880 综合填空 1、二维连续型的数字特征 里的 全靠它。

880 第十九章综合填空 1

原题 设随机变量 的概率分布为 ，则 ____.

解析 第一步永远是归一化：

代回去：，这是参数 的泊松分布。查表 ，故

泊松的招牌：

期望与方差相等，是泊松分布独有的特征（在考研涉及的分布里）。反过来，题目若说”某离散变量期望与方差相等”，就该往泊松上想。 与之对照：二项 ，几何 （当 ）。三种离散分布靠 与 的大小关系就能区分。

1000 基础第4章 3

原题 设随机变量 的概率密度图像分别如图 (a)～(c) 所示（(a) 为 上以原点为顶点的等腰三角形；(b) 为 上的水平线段；(c) 为 上顶点在 、在原点取 的 V 形折线），则（　）. A. 　B. C. 　D.

解析 三个密度都在 上、都关于原点对称，故 ，方差就是，归一化把三个密度的表达式全定死了（面积必须为 1）：

  • (a) 三角形，底 、高 ，面积 ，故 ；
  • (b) 矩形，底 、高 ，，故 ，即 ；
  • (c) V 形，两个三角形合计面积 ，故 。

分别积分（都用对称性只算一半再乘 2）：

故 ，选 A。

另解（一秒定胜负，不算积分） 方差量的是”质量离中心多远”：

  • (a) 把质量堆在原点附近（顶点在中间）→ 最小；
  • (c) 把质量堆在两个端点（原点处密度为 ）→ 最大；
  • (b) 均匀铺开，居中。

所以必然 ，选 A。三张图的形状本身就是答案，这正是模板第五条。

记住 上这三个数：

它们是”尖峰 / 均匀 / 双峰”的方差标尺，考场上可以直接用来估量任何 上的对称密度。 换到一般区间 时三个值同乘 （方差是二次齐次的），见 方差、标准差与矩。

1000 基础第4章 9

原题 已知随机变量 的概率密度为 ，，求： (1) 常数 的值； (2) 的值； (3) 的分布函数 .

解析

(1) 指数上是 ，用模板第二条直接读参数：

注意 与 无关—— 只平移不缩放。代入条件 ：，于是 。 由归一化定：配方得 ，与正态密度系数 比较，

(2) 拆成两项。第一项用平方期望分解式：，第二项 用正态的指数期望公式（对 ）：

若不记这个公式，就现场配方：

指数配方 ，剩下的积分是 密度的全积分乘 ，即 。故值为 。又是”把被积函数配成另一个正态密度，让积分等于 1”。

(3) 先标准化：，故，即 是半正态分布。对 ，

对 ，。即

的系数不是随便给的

出题人把标准化系数 直接写进题里，就是要你反应过来”这是在标准化”。 看到 、、 这类怪系数乘在 上，先算 对不对得上。 对得上，后面全是标准正态的常识。

这道题与 880 综合解答 8 是同一个分布

1000 让你解出 ；880 综合解答 8 直接把 端给你，问别的东西。 两本书在同一个 上出了一正一反两道题。 把下面那道连着做，这个分布就再也忘不掉了。

880 第十九章综合解答 8

原题 设随机变量 的概率密度为 ，，，求 与 .

解析 配方：，故

与上一题完全同一个分布。于是 ，。

求 ：不用算。 是 的线性函数且系数为正（），由相关系数的线性不变性

（硬算也行：，，，比值为 。但看出线性关系直接写 才是正解，见 $\rho$ 的线性不变性。）

求 ： ，所以 ，查表 。

不查表就用标准正态的矩：，（标准正态四阶矩等于 3，要背），故

标准正态的矩速查

；一般地奇数阶矩全为 （对称性），偶数阶 。 于是 、。考研只会用到 ，但记住 这个规律更省事。

1000 强化第6章 4

原题 假设某种试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 。现进行重复独立试验直至成功与失败的结果都出现为止，已知试验次数 的数学期望 ，则 ____.

解析 关键是想清楚”等的是什么”：第一次试验必然出现某一种结果，之后我们等的是另一种结果第一次出现。所以等到另一种结果所需的追加次数，按第一次的结果分两支（这是全期望公式，见 条件期望与全期望公式）：

  • 第一次成功（概率 ）：此后要等一次失败，追加次数服从参数 的几何分布，期望 ；
  • 第一次失败（概率 ）：此后要等一次成功，追加次数期望 。

于是，令 ，条件 化为，由均值不等式 ，等号当且仅当 ，即 ，故

这道题真正想说的是： 恒成立

意味着 对任何 都成立，而 是能取到的最小值，只在公平硬币处取到。 所以题干给的 不是”一个方程”，是”取到了下界”——这类题的答案往往由等号条件唯一确定，不需要解二次方程。 物理直觉： 越偏离 ，就越难等到那个稀有结果，平均次数越长。 或 时 。

别把 直接当几何分布

不服从几何分布——它是” 几何”的混合，而且两支的参数不同（一支 ，一支 ）。 常见错解是写 得 ，这漏掉了”第一次可能是失败”的那一半。读清楚”直到两种结果都出现”。

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