考研笔记

常见分布数字特征表

🏠 第19章概念导航

核心问题

认出分布，就不用算积分。

本章九成的计算量可以被一张表消灭。这一页要做两件事：把表列全，并给出每一条的记忆线索——死记八个方差是记不住的，但每一个都有来处。

核心定义 / 定理 / 结论

一、离散型

分布记号分布律
两点（伯努利）
二项
泊松
几何
超几何

二、连续型

分布记号密度
均匀
指数
正态
卡方——
柯西——不存在不存在
拉普拉斯——

三、每一条的记忆线索

二项 个两点之和：，独立，故 、 直接可加。记住两点分布的 ，二项的就是它乘 。

泊松 ：这是泊松独有的招牌。来源：泊松是 在 、 下的极限，此时 。

几何 ：平均要试 次才成功—— 就平均试 10 次，符合直觉。

超几何的期望与二项相同（），方差多乘一个有限总体修正因子 。不放回压缩波动，但不改变中心——见 指示变量法。

均匀 ：区间长度的平方除以 12。 给 ， 给 ， 给 。

指数 ：标准差恰好等于期望（变异系数恒为 1），这是识别指数分布的一个特征。

卡方 ：，而 、，独立可加即得 与 。 时 是最常考的一条。

拉普拉斯 ：，而 。

四、用比值 当”指纹”

二项泊松几何

“方差比期望小”是二项的标志，“相等”是泊松的标志。 题目给了 和 让你判断分布或反解参数时，第一步永远是做这个除法。

五、正态的两个附加公式

第二条只对零均值成立，是 绝对值的数字特征 一整节的核心。数值：，。

六、指数分布的截断期望

由无记忆性口算。自检：两式相加应得 （因为 ）。

七、多项分布的协方差

恒为负（总次数固定，此消彼长）。三项等概时 ——这个数值考过至少两次。

典型题型

  1. 由 反解参数：，再回代求
  2. 认出分布再查表：配方认正态、归一化认泊松
  3. 可加性：独立同分布之和的期望方差
  4. 判断分布类型：靠 与 是否等于

图示 / 直觉

把这张表按”方差与期望的关系”排成一条谱：

超几何二项泊松几何柯西

左端”受约束、波动被压制”，右端”长尾、波动失控”。这条谱上的位置就是一个分布的”性格”。

为什么超几何的方差最小：不放回抽样有”自我平衡”效应（抽走一个次品，后面次品变少），指示变量之间负相关，把总方差拉低。

为什么柯西没有方差：尾巴衰减太慢（），连期望都不存在。它是所有”重尾”的原型，第20章会说明大数定律对它失效。

常见误用

1. 几何分布的两种定义

“试验次数”版 ，； “失败次数”版 ，。 考研统一用第一种，但看到 从 开始要警觉。

2. 的方差不是

是 ，长度要平方。

3. 的第二个参数是方差

但 里除的是标准差。 的标准差是 。 写作 时括号里是标准差，方差是 。

4. "参数为 的指数分布"要看清是 还是

中文教材说”参数为 “通常指率 （）；说”期望为 的指数分布”则 。 看到”期望为 2 的指数分布”，立刻在草稿纸上写 。

与旧知识的连接

  • 第17章：这张表里的分布本身在那里学过，本页只是补上数字特征——见 常见离散分布 与 常见连续分布。
  • 第18章：可加性表（独立同族之和仍同族）与本页的期望方差可加互为表里，见 卷积公式与可加性。
  • 第20章：中心极限定理需要 与 作为输入，本表是全部原料。
  • 第21章： 的 、 在抽样分布里反复出现。

题型训练

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