考研笔记

中心极限定理的数值应用：算近似概率与反解样本量

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方法模板

一、应用题的四步流水线

①设变量并认出分布②算③把事件翻译成④标准化查

第④步的两个公式：

难点从来不在第④步，而在①②③——尤其是③”把中文翻译成不等式”。

二、 的三条化简规则（选择题必用）

选择题的答案一律写成 正数 的组合，所以算出 之后必须换成 才能与选项对上。这是应用题最后一步唯一的技术动作。

三、常用分位数（反解样本量时要背）

（上侧分位数，）
置信度用，用

注意别配错：双侧 对应每边 ，用 ；双侧 对应每边 ，用 。这套记号第22、23章还要用一整章。

四、反解样本量的模板

要求 ，则

（算出小数一律向上取整）

结构值得记住：精度 要提高一倍，样本量要变成 4 倍—— 与 成反比。这是” 律”的现金代价。

五、判据：什么时候用切比雪夫，什么时候用中心极限定理

题目怎么问用什么答案形态
”不小于多少""不超过多少""至少是”切比雪夫不等式一个分数（界）
“约为""近似""根据中心极限定理”中心极限定理含 的表达式（近似值）
要界找切比雪夫，要值找中心极限定理

两者不可互换：切比雪夫给的是保守的不等式，中心极限定理给的是精确的近似。题干里的动词就是路标。见 切比雪夫不等式。

必考

1000 基础篇 第5章 4

原题 设生产每件产品的时间服从指数分布，且平均时间为 10 分钟，生产各件产品的时间相互独立，由中心极限定理，在 15 小时至 20 小时之间生产 100 件产品的概率约为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

①设变量。 设第 件产品的生产时间为 ，，（分钟）。记（生产件产品的总时间），②数字特征。 指数分布的方差等于期望的平方：

③翻译事件。 “在 15 小时至 20 小时之间生产 100 件产品” 总时间落在 15h 与 20h 之间。统一到分钟：

小时分小时分事件为

④标准化。

用 化成正数：

选 C。

三个坑，命题人一个不落地摆成了选项

  1. 单位不统一——小时与分钟混用。若忘记换算， 和 直接减 会得到荒唐的标准化值。先把所有量化到同一单位再动手。
  2. 而不是 ——指数分布的方差是期望的平方。若误取 ，则 ，标准化值不再是整数，立刻能察觉。“标准化后凑成整数”是应用题自带的验算机制。
  3. 没换号——直接写 在选项里找不到；(A) 正是”把 抄成 “的产物。

选项 (D) 则是把对称区间公式 生搬到非对称区间上的结果——本题区间 关于均值 1000 并不对称（左边差 100，右边差 200）。

别写反：平均时间 10 分钟

指数分布的参数 是速率（单位时间的件数），期望是它的倒数。 本题”平均 10 分钟一件”即速率 件/分钟。 ✓。 凡是题面给”平均……”，给的都是 ，不是 。 见 常见连续型分布。

1000 基础篇 第5章 5

原题 设有 5 个盒子，100 个球，每个球等可能地放入任一盒子中，根据中心极限定理，指定的某一个盒子中不超过 22 个球的概率近似为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

①认分布。 对指定的那个盒子，每个球”进/不进”是一次伯努利试验，成功概率 ；100 个球相互独立。记该盒中的球数为 ，则，②数字特征。，③④翻译并标准化（棣莫弗—拉普拉斯定理）：

选 D。

这类题的"入口"是把多盒问题降成两点分布

5 个盒子看起来是多项分布，但只问指定的一个盒子，其余四个可以全部合并成”没进这个盒子”。

多项分布的任一分量的边缘分布是二项分布：

这是上一章多项分布写过的结论。看到”指定的某一个”，立刻降维成 。

选项区分的是两件事： 算对没有，以及方向有没有反

  • 若把 误算成 2（比如用了 而不是 ），得 ，落进 (B)；
  • 若把”不超过”读成”超过”，得 ，落进 (C)；
  • 两个错误都犯，得 (A)。

“不超过 “就是 ，直接是 本身，不带 。 见到 就该问自己：事件是不是取了补？

要不要做连续性修正

严格地说，离散型用连续型近似时可作连续性修正 。 但考研大纲不要求，选项里也没有 ——一律不修正。 知道有这回事即可，考场上直接用 。

1000 基础篇 第5章 7

原题 某保险公司接受了 10 000 辆汽车的保险，每辆汽车每年的保费为 1.2 万元. 若汽车丢失，则车主获得赔偿 100 万元. 设汽车的丢失率为 0.006，对于此项业务，利用中心极限定理，则保险公司一年所获利润不少于 6 000 万元的概率为 ____.

解析

①设变量。 设一年内丢失的汽车数为 。每辆车丢失与否独立，丢失率 ，故，②翻译”利润”。 单位统一取万元：

收入赔付 利润

③翻译事件。

④数字特征与标准化。

根本不用算

分子是 ，分母是多少都不影响结果（只要它非零）。 看到临界值恰好等于期望，立刻写 。先算分子，分子为零就停手——这能省掉一个开方，也避免了在 上浪费时间和出错。

这道题在说一件有意思的事

保费总收入 12 000 万，期望赔付 万，所以期望利润恰好是 6 000 万。 题目问”利润不少于期望利润的概率”——由于 近似对称（ 足够大），答案必然是 。

结果期望（正态近似下）

命题人把保费 1.2 万定在这个数，就是为了让期望利润正好卡在 6 000 万。 反过来说，只要看出”6 000 万 期望利润”，答案不用算。

别把 写成 1

，不是 。虽然本题不影响答案，但这个习惯性错误在下一题（反解样本量）里会直接算错 。 很小时 ，二项分布近似泊松，——这是”泊松定理”的痕迹，可以作为验算（ ✓）。

880 第二十章 基础解答 1

原题 设一条生产线的合格率为 0.8，要使一批产品的合格率在 76% 与 84% 之间的概率不小于 90%，问这批产品至少要生产多少件？

解析

①设变量。 设生产 件，其中合格品数为 ，则 。样本合格率为，②数字特征。

③翻译事件。 “合格率在 76% 与 84% 之间”——注意 ，区间关于 对称，半宽 ：，④标准化并反解。

为整数，故至少生产 件。

另解（对和 而不是比例 标准化）

完全一样。两条路的分子分母各差一个 ，约掉后同一个式子——这验证了模板里”和与均值的标准化恒等”。

要先变成 再查分位数

。 直接拿 去查得到 ，是本题头号错误，会算出 ，即 165 件。 记忆法：双侧概率 ，查的是 。 本题 ，查 。

最后一步只能向上取整

且 为整数 。 “至少要生产多少件”问的是满足条件的最小 ，取 270 会使概率略低于 90%，不满足要求。 凡是”至少……多少”的反解题，答案一律 ，不能四舍五入。

精度与样本量的平方关系

若把要求收紧到”合格率在 78% 与 82% 之间”（ 减半为 0.02），则

正好是 的 4 倍。

精度提高一倍，成本变成四倍——这就是统计学里所有” 律”的现实含义，也是第22章区间估计的定价基础。

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