第20章 大数定律与中心极限定理 题库
题源：李林 880 第二十章（10 题）+ 张宇 1000 题基础篇第 5 章（8 题）+ 强化篇第 7 章（4 题），池 22 题，全部收录（100%），写成 22 个块锚点。必考 21 / 拓展 1。
这是概率论里最小的一章（22 题，不到第19章 85 题的四分之一），但它是唯一一章讲”极限”的——前四章全在处理固定的
，本章第一次让 。 它也是整个概率论与数理统计的转折点：第16–19章是”已知分布，求性质”，第21–23章是”已知数据，猜分布”。本章是这两半之间的桥——它证明了用样本去猜总体是合法的。
全章只有三句话：
- 大数定律说跑到哪，中心极限定理说抖多大——同一个
，用尺度 看是一根针，用尺度 看是一个钟形； - 标准化的分母永远是标准差（
， 在根号里）； - 定理的前提比结论更值得检查——独立、同分布、方差有限非零，缺一条结论就塌。
配合 易错清单 40 条 一起看。
收录统计
| 题源 | 题数 | 收录 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 880 第二十章 基础选择 | 3 | 3 | 本章只有基础题，书上没有综合题与拓展题 |
| 880 第二十章 基础填空 | 4 | 4 | |
| 880 第二十章 基础解答 | 3 | 3 | |
| 1000 基础篇 第5章 | 8 | 8 | |
| 1000 强化篇 第7章 | 4 | 4 | |
| 合计 | 22 | 22 | 100% |
关于"没有综合题与拓展题"
李林 880 的其余各章都有「综合题」和「拓展题」两个小节，第二十章是唯一只有「基础题」的一章。 已核对原始合并 OCR 文件（第 5721–5798 行）确认这不是拆分丢失，而是原书如此——本章在两本题册里的分量都很轻。 但分量轻不等于不重要：本章的每一条结论都会在第21–23章被反复调用，而那三章占概率论分值的近一半。
六节的重心
| 节 | 题数 | 一句话 |
|---|---|---|
| 一 切比雪夫不等式 | 4 | 难点全在算 |
| 二 依概率收敛与辛钦 | 4 | 退化成一道 |
| 三 非同分布场合 | 3 | 参数带 |
| 四 CLT 的标准化 | 5 | 本章最大一节，反解常数用「期望 |
| 五 CLT 的数值应用 | 4 | 难点在把中文翻译成不等式 |
| 六 定理前提的辨析 | 2 | 全章思想的落点 |
四、五两节合计 9 题（41%）是中心极限定理，一、二、三节合计 11 题（50%）是大数定律与切比雪夫——两大板块几乎对半分。
一、切比雪夫不等式：把方差翻译成概率界
→ 题型笔记 · 三步流程 ①
必考
二、依概率收敛与辛钦大数定律：先套
→ 题型笔记 ·
必考
三、不同分布也能用：切比雪夫大数定律与伯努利大数定律
→ 题型笔记 · 参数带
必考
四、中心极限定理的标准化：认出
→ 题型笔记 · 分母是标准差
必考
五、中心极限定理的数值应用：算近似概率与反解样本量
→ 题型笔记 · 四步流水线；
必考
六、定理前提的辨析：哪一条不满足，结论就塌
→ 题型笔记 · 独立 + 同分布 +
必考
- 880 第二十章基础选择：2
拓展
- 880 第二十章基础解答：2
成对出现的题（同章）
同一个模型在两本书里各出现一次，或在同一本书里正反各考一次。成对做，收益翻倍。
-
完全同题 —— 880 基础填空 4 与 1000 基础 6：变量（
）、构造（ ）、答案（ ）全部相同，唯一的差别是常数写在分子还是把 移到不等号右边。两本独立命制的题库撞题，说明这是本节的标准考法。 -
切比雪夫的正用与反用 —— 880 基础填空 1、2 是”给参数求界”，填空 3 是”给界求参数”。填空 3 的入口是那句没写出来的话：不等式里的减数必须是
，由此定出 。正反各做一遍，这个隐含条件就跑不掉了。 -
同一个
，三种给总体的方式 —— 1000 基础 1（直接给指数参数， ）、强化 2（用条件分布给， ）、强化 4（用泊松过程给， ）。三题的全部工作量都在求 ，大数定律那一步是免费的。这三种给法把第17章（常见分布）、第18章（条件分布）、第19章（数字特征）串成一条线。 -
二项分布的两个精度层次 —— 1000 强化 3（伯努利大数定律：
，说位置）与 1000 强化 1（棣莫弗—拉普拉斯： ，说涨落）。同一个”计数”模型，一个问它跑到哪，一个问它抖多大。 -
“个数”型应用题的两副面孔 —— 1000 基础 5（100 个球放 5 个盒子，
，答 ）与 1000 基础 7（10 000 辆车丢失， ，答 ）。都是二项→正态近似，前者练”多盒降维成两点分布”，后者练”把利润翻译成计数”。 -
辛钦与切比雪夫的分工 —— 880 基础选择 3（独立同分布，用辛钦）与 880 基础解答 3（独立不同分布，用切比雪夫）。两题并排，“该用哪个定理”这个判断就成了条件反射。
-
的 、 两次登场 —— 1000 基础 8 直接用它做切比雪夫；880 基础选择 1 的 在总体为 时正好是 ，就是同一个数。 是这两题共同的底层公式。
与其他章的对应
回看（本章用到的旧结论）
—— 第19章。本章第二、三节几乎每题都要用一次，是全章最高频的一个公式。 —— 第19章第六节算过。当时是一道计算题，本章是切比雪夫大数定律的心脏。 —— 第19章。切比雪夫题（880 基础填空 2）的真正考点。 —— 第19章第三节。伯努利大数定律就是它加上辛钦。 - 全期望公式
—— 第19章第四节。1000 强化 2 的唯一入口。 - 柯西分布没有期望 —— 第19章第五节与第十节两次遇到。本章它升格为大数定律与中心极限定理共同的反例。
- 泊松过程与指数分布的对偶 —— 第17章。1000 强化 4 的第（1）问：
。 - 多项分布的边缘是二项 —— 第19章第十二节。1000 基础 5 的”指定某一个盒子”就是取边缘。
- 独立正态之和仍正态 —— 第18章。1000 强化 2 的另解（
）。 与标准化 —— 第17章。本章第五节每题最后一步。 - 独立性对函数的保持性 —— 第18章。”
仍独立同分布”这一步的全部依据。 （正态） —— 第19章。1000 基础 8 的另解要用。
前瞻（本章交给后面的东西）
—— 第21章在正态总体下把这个" "升级成精确的 ，本章的近似式在那里变成等式。 - 分位数
的记号与查法 —— 第22章区间估计、第23章假设检验要用一整章。本章的”反解样本量”（880 基础解答 1）就是区间估计的前身。 - 相合性
依概率收敛到真值 —— 第22章判断估计量好坏的两把尺子之一（另一把是无偏性）。1000 强化 3 的 就是经验分布函数，无偏 方差 相合。 - 矩估计的合法性 —— 第22章用
去估计 ，理由正是本章的辛钦大数定律 连续映射定理。 - “分布随
漂移则定理失效” —— 第21章讨论 、 的极限行为时会再次用到这个警觉。
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