依概率收敛与辛钦大数定律：先套
方法模板
一、辛钦大数定律
设
即对任意
注意条件之少：只要独立同分布
二、真正的考法：先做一次函数变换
考研里几乎不直接考
第①步靠的是独立性对函数的保持性：
第②步就是 LOTUS：
三、
四道题里有三道的
极限是二阶原点矩，不是方差，也不是
三个最常考的现成值：
| 总体 | |||
|---|---|---|---|
四、依概率收敛的两条运算法则
第二条（连续映射定理）是第22章证明估计量相合性的全部工具。本章先记住形式。
必考
880 第二十章 基础选择 3
原题 设
A.
B.
C.
D.
解析
题目给的条件是
选 C。
逐项排除：
- B 与 C 只差右端的
和 。依概率收敛的定义式右端是 1（“落在邻域内”的概率趋于 1）；写成 的形式时右端才是 0。B 把两种写法混在一起，是最主要的干扰项。 - A、D 都少了中心化的
。 收敛到的是 ，一般不是 0，所以 不趋于 0（A 错）， 也不趋于 0（D 错）。 只有当 ——即 ——A、D 才对，这是平凡情形。
定义式的两种写法，右端一个是 1 一个是 0
不等号方向与右端数值必须配对：
<配1，≥配0。 选择题把这四种组合排列出来做干扰项是标准套路，本题的 B（<配0）就是。 记忆法：“落在里面”是好事，概率趋于 1。
为什么条件写的是
而不是 两者其实等价（
，且 ）。 但题目要处理的对象是 ，用二阶矩表述更直接：辛钦定理要求”被平均的那个变量的期望存在”，被平均的是 ，所以要求的就是 。 看清楚谁在被平均，这是本章所有题目的第一动作。
1000 基础篇 第5章 1
原题 设总体
解析
流水线走一遍：
参数为 2 的指数分布指
另解（直接积分，验算用）
更一般地，指数分布的
巧合陷阱：这里
恰好等于
时 ， ，两者数值相同。 这是 独有的巧合（ ），不要因此以为”极限就是 ”。 命题人选 大概率就是为了让写错的人也蒙对——但下一题（强化 2）里同样的错误就会暴露。
记住"指数分布的二阶矩是一阶矩的两倍的一阶矩"太绕，记这个
指数分布的方差等于期望的平方（变异系数恒为 1），所以
。一句话记全。
1000 强化篇 第7章 2
原题 设
解析
流水线的第②步照旧，问题全在求
解法一：塔性质（推荐，不必求
由
再取一次期望：
解法二：认出
条件分布
记住这个模型：
信号 噪声 ”
是随机的真值， 是加了标准正态噪声的观测”是统计学里最基本的模型。 两个方差直接相加（ ），因为信号与噪声独立。 本题的 也可以这样读：观测的能量 信号能量 噪声能量，各占一半。
极限是
，不是 ，也不是 三个最常见的错误答案：
- 写
——把极限当成了条件方差 ，忘了对 再取一次期望； - 写
——停在了 ，答案里带着随机变量 ，一定是错的（极限必须是常数）； - 写
——把极限当成了 。 自检：依概率收敛的极限必须是一个数。式子里还剩随机变量就说明少取了一层期望。
1000 强化篇 第7章 4
原题 设
（1）求
（2）当
解析
（1）“第一个顾客还没来”翻译成”计数为零”
这是泊松过程与指数分布之间那座桥，一句话就能过：
（第 1 个顾客在
于是分布函数与密度
即
（2）
（或直接用
泊松过程
指数分布：强度 直接搬过来
本题
，即 ，所以 ， （平均每 2 单位时间来一个人，与”强度 人/单位时间”完全吻合）。 物理直觉和公式对上了，就不会把 写成倒数。 见 无记忆性与寿命分布。
求密度先求
，不要去求 直接算
至少来 1 人 当然也对，但**“至少一个”必须转成对立事件**才好算。 一步到位的写法是记住 ：生存函数直接等于零计数概率，这是全部寿命—计数对偶问题的入口。
三道题的同一句话
本节的 1000 基础 1、强化 2、强化 4 问的都是
的极限，答案依次是 。 三题的全部工作量都在”求出总体的 “，大数定律那一步是免费的。 差别只在总体怎么给：直接给参数 / 用条件分布给 / 用泊松过程给。这三种给法把上一章（数字特征）、上上章（条件分布）、第17章（常见分布）串成一条线。
链接
- 概念：依概率收敛 · 大数定律 · 数学期望与 LOTUS · 方差与各阶矩
- 上一节：切比雪夫不等式
- 下一节：非同分布场合的大数定律
- 条件期望与塔性质：条件期望与全期望公式 · 全期望公式
- 独立性对函数的保持：随机变量的独立性
- 易错：第20章易错点