考研笔记

条件期望与全期望公式

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方法模板

一、条件期望：先固定 ，再求 的平均

离散连续

原料就是第18章的条件分布（分子联合、分母边缘），见 条件分布。这里只是在它上面再取一次期望。

关键认识： 是关于 的一个普通函数，记作 。把 换回随机变量 ，得到的 本身是一个随机变量——这是理解全期望公式的全部门槛。

二、全期望公式（塔性质）

展开成能直接用的形式：

或

它就是全概率公式的期望版：全概率公式把”概率”按条件拆开加权求和，全期望公式把”期望”按条件拆开加权求和。第16章那套”分情况讨论”的思维在这里原样复用，见 全概率公式与贝叶斯。

什么时候想到它

题干里出现两段式描述：“先……，再……”（先取 再取 ）、“若 则……，若 则……”（分支定义），就是它。 特征是第二步的分布依赖第一步的结果。这类题若强行去求 的边缘分布再积分，工作量会翻好几倍。

三、求协方差的利器

因为给定 后 是常数可以提到条件期望外面。这一条把二重积分降成一重积分，是本节所有 题的标准入口：

先对积一维

四、必须条件反射的三条一维结论

条件分布最常见的就是均匀分布，配套结论要背死：

（ 的二阶矩 ，取 即得 。）

对称区间同理： 时 ，。

五、指数分布的截断期望（本节两道题共用）

设 ，。用无记忆性可以口算：

第二条的推导值得记住这个说法：

（无记忆性！）

“超过 之后还要等多久”与”从头开始等多久”同分布——这就是无记忆性，见 无记忆性与寿命分布。

两式相加还有一个好用的校验：，故 ✓。

必考

880 第十九章基础填空 3

原题 从 中任取一数 ，再从 中任取一数 ，则 ____.

解析 典型的两段式： 的分布依赖 的取值，用全期望公式。

给定 时， 在 上等可能，故，（离散均匀分布的期望是首末平均，和连续均匀一样。）而 在 上等可能，：

另解（把塔性质写成随机变量的形式） ，直接对它取期望：，其中 。这一步只用了期望的线性性，比逐项求和更快——当 是 的线性函数时，永远走这条路。

不要先去求 的分布律

硬求的话要算 ，出现调和数，虽然做得出来但毫无必要。 全期望公式的价值就是绕开边缘分布。

1000 基础第4章 11

原题 设随机变量 与 独立同分布，且都服从参数为 1 的指数分布。若 则 . A. 　B. 　C. 　D.

解析 分支定义，用指示变量把两支写成一个式子：，取期望后需要三个量。由对称性（ 可交换），（连续型，）。

核心是这个积分：

先对 积分（内层积分就是 ，即在给定 时那一支发生的概率）。拆开：

（用了 ，这个积分本节反复出现，直接背。）

同样由对称性，（把两个字母对调即得，因为 可交换）。

合起来：

选 C。

对称性省掉了一半计算

独立同分布 二者可交换，于是任何把 对调后形式相同的量必然相等。 本题里 与 就是这样一对。这个招数在 次序统计量的数字特征 里是主力。

别忘了 也要乘概率

第二支是 ，取期望时 只在” 发生”时才计入，贡献是 ，不是 。 把常数项漏乘概率，会得到 ——四个选项里没有，但这类错误在解答题里就是直接丢分。

1000 强化第6章 6

原题 在区间 上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间记其长度为 ，再从留下的区间上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，记其长度为 ，则 ____.

解析 第一步： 是什么分布？ 设分割点 ，两段长度为 与 ，随机留下其中一段。由于 与 同分布（都是 ），无论留哪一段，，故 。

第二步：条件分布。 给定 ，在长为 的区间上重复同样的操作，得到的 同理服从 ，于是，第三步：塔性质。

为什么答案这么"整"：每一轮平均砍掉一半

结论可以推广：这样操作 轮，第 轮的长度期望是 。因为每一轮都在上一轮长度的基础上乘一个独立的 因子，而 ：

（这里用到 独立才能拆开乘积的期望——乘积拆期望需要独立，与本章主线呼应。）

"留下任一区间"是干扰项

很多人在这里纠结”留哪一段""怎么选”，其实由对称性两段同分布，选择方式完全不影响答案。 真正要抓的是”下一轮在长为 的区间上重演”这个自相似结构。

1000 强化第6章 13

原题 已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为 2 的指数分布。第一只灯泡先亮，若 1 小时内第一只灯泡坏掉，则在第 1 小时时第二只灯泡才亮；若 1 小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令 为从点亮第一只灯泡直到第二只灯泡坏掉的时间，则 ____.

解析 设 独立同服从期望为 的指数分布，即 。

关键一步：看穿”第二只灯泡什么时候亮”。

  • ：第二只在时刻 1 点亮；
  • ：第二只在时刻 点亮。

两种情形合起来就是一句话——第二只灯泡的点亮时刻是 。于是

读懂这一步，题就做完了。用模板第五条：

另解（全期望公式，硬做） 按 是否小于 1 分两支：

其中

代入： ✓ 与上面一致。

把"分支描述"翻译成 或

凡是”若 则用 ，否则用 “，就是 ；“若 则用 ，否则用 “就是 。 翻译成一个式子，比分两支写快得多，也不容易漏项。 同样的翻译在 截断与混合型的期望 里是全节主题。

和期望是倒数关系

“期望为 2 的指数分布”意思是 ，即 ，不是 。 这个反了会得到 ，差得很远。看到”期望为 的指数分布”就立刻在草稿纸上写 。

1000 强化第6章 20

原题 已知随机变量 在区间 上服从均匀分布，在 的条件下，随机变量 在区间 上服从均匀分布。求： (1) 的概率密度 ； (2) 与 的相关系数 .

解析

(1) 用乘法公式拼出联合密度（这是”给边缘 + 条件，反造联合”的标准动作）：，支撑集是三角形 ，这一点决定了下一步的积分限。求边缘时固定 、沿水平线扫 ，范围是 ：

其余为 。（验算： ✓； 时密度 ，但可积。）

(2) 全部用条件期望走，不碰二重积分。已知 ，，。

由 （模板第四条）：，三个矩顺次落地：

于是

这一问是" "的样板

三个期望 、、 全都没有用到 ——第 (1) 问求出的边缘密度在第 (2) 问里一次都用不上。 这就是塔性质的威力：条件期望是 的简单函数，剩下的全是一维积分。如果老老实实用 去算 ，还要分部积分。

符合直觉

被限制在 里， 越大 的活动空间越大，两者正相关。 而 而非 1，是因为给定 后 仍有自由波动。” 住在 划定的区间里”这类结构一律给出正相关且严格小于 1。

1000 强化第6章 21

原题 设二维随机变量 的概率密度为 其他 (1) 求 的值；(2) 求 的概率密度；(3) 求 .

解析

(1) 支撑集是抛物线 与直线 围成的区域， 从 到 。先对 积（竖直线扫描）：

故 。（用了被积函数是 的偶函数，只算 再乘 2。）

(2) 先做一个换元把问题降维。令 ——注意 只通过 依赖 ，且区域也只与 有关，所以这个换元是”自然”的。对 ， 两支各贡献一份，：

现在 是标准的积的分布（第18章第十节）：。定限由 给出：

其他

验算归一性： ✓

(3) 边缘密度（上面第 (1) 问的内层积分已经算过）：

条件密度（分子联合、分母边缘）：

注意 被约掉了——条件分布只通过支撑集下端 和归一化因子依赖 。取 （，）：

检验答案是否合理

条件密度 在 上，是向右偏的（ 越大密度越大），所以 应当大于区间中点 。算得 ✓。 “密度形状 → 期望偏向哪一侧”是解答题里最快的自检手段。

换元 时别忘了两支相加

和 都映到同一个 ，密度要相加，所以有那个因子 。 漏掉它会得到 的归一化对不上（ 积分只有 ）。这正是第17章非单调函数求分布的老规矩，见 非单调函数的分布。

拓展

1000 强化第6章 12

原题 设某营运车辆的使用寿命 （天）服从参数为 的指数分布，车辆的使用成本为 300 元/天，司机的报酬为 400 元/天，并约定按照 天支付报酬，车辆每天正常运营可获得 1000 元收益，求该营运车辆的期望利润最大时 的值（ 为整数）。（ 取 ， 取 ）

解析 先把利润写成随机变量。 合同期 天，车辆实际运营天数是 （车坏了就停，合同到期也停）：

  • 收益：；
  • 使用成本：（只在运营时发生）；
  • 司机报酬：（按 天约定支付，与车是否坏掉无关——这是本题的题眼）。

用模板第五条，：

对 求导（先当连续变量处理）：

令其为零：

天

二阶导 ，确为极大，且是唯一驻点，故为最大值。

题目给 和 就是在报答案

恰好把两个给定值都用上。 考场上如果算出来的对数用不上题目给的数值，多半是模型列错了——这是一个免费的自检信号。

三个建模陷阱

  1. 报酬是 而不是 。“约定按 天支付”意味着这笔钱是固定支出。若误写成 ，则 关于 单调递增，没有最优解——得不出答案本身就是模型错了的信号。
  2. 运营天数是 不是 。合同 天到期就结束。
  3. 使用成本跟着实际运营天数走，与报酬的计法不同。三项各有各的”天数”，是本题唯一的难点。

经济学解释：边际收益 边际成本

驻点条件 的含义是：多签一天合同，带来的期望净收益 恰好等于多付的固定报酬 。 车越可能还活着（ 越大），越值得延长合同。合同长到”车有 的概率还活着”时，就该停手。

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