不相关但不独立的反例谱

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、独立性的保持性 —— 不相关没有这条性质

独立是”信息层面”的无关： 的任何函数都不携带 的任何信息，所以经过任意变形后仍然独立。 与 、 与 、 与 ——全都独立。

不相关完全没有这个保证：因为 只是一个数，只测量一个方向（线性）上的关联。变形之后，原来藏在非线性里的关联就冒出来了。

这一条差异是本节所有选择题的钥匙

选项里出现” 与 相互独立”时：

• 若前提是独立 → 一定对；
• 若前提是不相关 → 一定不能这么推。

二、 看不见什么：三类失明

只说明”没有线性趋势”。以下三类关系一律被 漏掉：

（一）对称性造出的零协方差（最常见）

若 的分布关于 对称， 是偶函数，则

因为 是奇函数、积分为零。于是 、、 全都与 不相关，尽管 被 完全决定。

（二）非线性的恒等式约束

、 之类。前者虽然把 锁死在一条曲线上， 却可能取任何值——曲线不是直线， 就测不准。

（三）支撑集不是矩形

逆否命题就是最快的判独立工具：支撑集是椭圆、圆盘、三角形、抛物线区域——一律不独立，看一眼就能下结论，不用算任何积分。这条”支撑集一票否决”在第18章已经反复用过，见 独立性的判定与反例。

三、必背的四个反例

反例	构造		独立？	机制
平方型	，		否	对称 + 偶函数
三角型	，		否	圆周约束
椭圆型	在椭圆内均匀		否	支撑集非矩形
和差型	独立同分布，		一般否	使协方差消失

第四个是本章的特产：由 ，和与差永远不相关（只要两者同方差）；但只有在正态情形下它们才真独立。见 不相关的等价刻画。

"和与差不相关"是免费的，"和与差独立"是正态的特权

独立同分布 与 不相关（永远成立）。 独立同正态 它们还独立。 反过来还有一条深刻的定理（Bernstein）：若 独立同分布且和与差独立，则必为正态——独立性把正态分布唯一地刻画了出来。考研不考证明，但这个事实能帮你记住”和差独立 正态的招牌”。

四、验证”不独立”的三种最快手段

按省时程度排序：

1. 看支撑集：非矩形 → 直接判不独立（连积分都不用做）；
2. 找一个具体的破坏点：找 使 ，离散型专用，一个格子就够；
3. 找逻辑蕴含：若” 取某值 只能取某值”，则必不独立。

第三条在离散题里最快：本节 1000 强化 15 里 强制 ，一句话完事。

必考

880 第十九章基础选择 5

原题 设随机变量 与 相互独立，且均存在非零方差，，则（　）. A. 与 相关　B. 与 不相关 C. 与 相互独立　D. 与 相互独立

解析 逐项判断。

• A： 是 的函数， 是 的函数，由保持性两者独立，故不相关。A 说”相关”，✗

• B：（题设 ），所以两者相关。B 说”不相关”，✗

• C：，，由模板第一条的保持性，独立 ✓

• D： 与 都含 ，共享随机源，一般不独立。具体地

  连不相关都做不到，更谈不上独立。✗

选 C。

题设 是专为 B 准备的

如果去掉这个条件，B 就可能对（ 时和与差确实不相关）。 出题人加一个条件，往往就是为了让某个特定选项从”对”变成”错”。 读题时看到这类看似多余的假设，先想想它在保护哪个选项。

一眼法：找"共用同一个随机变量"的选项

D 里 出现了两次——同一个随机源出现在两边，独立性几乎必然被破坏。 反之 C 里 只在左边、 只在右边，变量完全分离，独立性必然保持。 这个”看变量有没有分家”的检查，比算协方差快得多。

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880 第十九章综合选择 2

原题 设 ，，则 与 （　）. A. 相关且相互不独立　B. 相关且相互独立 C. 不相关且相互独立　D. 不相关且相互不独立

解析 独立性先定： 是 的函数，知道 就完全知道 ，绝不独立（除非 退化为常数，这里显然不是）。所以 B、C 出局。

再算相关性（利用 的矩：）：

故相关，选 A。

这道题是" 与 "反例的加强版

若 只是 ，则 ，得到经典的”不相关但不独立”（选 D 的情形）。 出题人在 上加了一个 ，把线性成分注入进来， 立刻不为零了。 这一对（ 与 ）值得同时记住：它精确地说明了 测量的是什么——它只捕捉那个 ，对 视而不见。

别被 干扰

常数项对协方差毫无贡献（模板：），也不影响独立性。它纯粹是来凑字数的。

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880 第十九章综合选择 4

原题 设随机变量 在 上服从均匀分布，，，则 与 的相关系数 为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 先定性，再定量。

定性（能直接选出答案）：在 上 递增、 递减， 变大时 变大而 变小，二者严格反向，故 ，排除 A、C。又因为 不是线性函数，达不到 ，排除 B。选 D。

定量（验证）： 于 。

确实落在 内 ✓

换成 答案会变成 A

若 ，则由对称性 ，且 ，得 ——不相关，但 显然不独立，成为模板第三条里的”三角型”反例。 同一对函数，区间一换， 从 跳到 。 这生动地说明了 有多依赖分布的形状：在四分之一圆上二者单调反向，在整个圆上正负抵消。做这类题一定先看清区间。

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1000 强化第6章 15

原题 独立重复抛掷一枚均匀硬币两次，记 ，则 与 （　）. A. 独立，不相关　B. 不独立，不相关 C. 独立，相关　D. 不独立，相关

解析 不相关（一行）： 独立同分布，，由模板第三条的”和差型”，，不独立（找逻辑蕴含，最快）：若 ，则必有 ，从而 ——和为 就强制差为 ，这是赤裸裸的依赖。

写成不等式：

故不独立、不相关，选 B。

这道题是"和差型"反例的最小模型

换成 独立同正态，和与差就真的独立了（第18章的菱形题）。 换成 - 变量，就只剩不相关。同一个构造，在正态里独立、在别处只是不相关——这个对比把”不相关 独立”钉死了。 顺带一提： 与 的取值有约束 （同奇偶），这是不独立的根本原因。

别去列 联合分布表

完整表格有 9 个格子，但只有 4 个非零（因为 只有 4 种可能）。列表能做，但慢。 找一个破坏独立性的格子就够了——模板第四条第 2 点。 是最好找的那个。

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1000 强化第6章 16

原题 设随机变量 在椭圆域 上服从均匀分布，则（　）. A. 在区间 上均匀分布　B. 和 必不相关 C. 在区间 上均匀分布　D. 和 相互独立

解析

D 先出局（支撑集一票否决）：椭圆不是矩形，故 必不独立。这是模板第二条第（三）点，看一眼图就能判。

A、C 出局（边缘不是均匀）：均匀分布的边缘密度正比于垂直方向的”弦长”。固定 ， 的活动范围是

所以

这是半椭圆形（“半圆律”）密度，中间高两边低，绝不是常数。椭圆中间”胖”，所以 落在中间的机会更大。 C 同理。

B 正确（对称性）：椭圆域关于 轴对称，联合密度是常数，故 与 同分布。于是，且由对称性 ，故，选 B。

"关于某轴对称 不相关"是免费的

只要区域和密度关于 轴（或 轴）对称，就有 ，一个积分都不用做。 适用范围极广：圆盘、椭圆、正方形 、菱形 ……只要图形上下对称或左右对称。 反例警告：三角形区域 不对称，那里 （见 条件期望与全期望公式 的 1000 强化 20）。

这是本节最完整的一个反例

椭圆域均匀分布同时展示了三件事：

1. 不相关（对称性给的）；
2. 不独立（支撑集非矩形给的）；
3. 边缘不是均匀（“联合均匀 边缘均匀”——第18章”边缘不能决定联合”的镜像版本）。

特例 就是圆盘，结论完全一样。把这一个例子记牢，本节的三个机制全在里面。

链接

• 概念：不相关与独立 · 随机变量的独立性 · 分布的对称性
• 上一节：不相关的等价刻画：方差可加
• 下一节：绝对值的数字特征：对称化
• 第18章的分布层面判独立：独立性的判定与反例
• 二维均匀分布的边缘：二维均匀与几何概型
• 易错：第19章易错点