考研笔记

离散型：由数字特征反推联合分布

🏠 第19章概念导航 · 数字特征题库

方法模板

一、- 变量：一切都塌缩成概率

设 都只取 。则

最后一条是全节的枢纽： 当且仅当两者都为 ，所以”乘积的期望”就是”右下角那一格的概率”。于是

给了 和两个边缘，联合表就被完全确定了——因为 表在边缘固定后只剩一个自由度（第18章的 判据，见 联合分布函数与联合分布律）。

二、反推 表的四步

已知 、、：

  1. （右下角）；
  2. （行和补齐）；
  3. （列和补齐）；
  4. （总和补齐）。

先定一个格，其余三个靠边缘减出来。 顺序不能乱。

三、“逻辑不可能”造零格 —— 最省力的一招

很多题里某个格子的概率恒为 ，理由是纯逻辑的：

  • 恒成立 不可能；
  • 与 同时成立 相加得 ，不可能；
  • 时 。
找出零格用边缘把剩下的格子逼出来

一个零格往往就能定死整张表，比列方程快得多。

四、多项分布的协方差（背）

次独立试验，每次有 种互斥结果，概率 ， 记第 种结果出现的次数：

协方差必为负：总次数固定为 ，一种结果出现得多，别的就必然少——这是**“和为常数”型负相关**，与 离差 $X_i-\bar X$ 那里的机制完全一样。

三项等概（）时 ，这个数值考过至少两次。

五、由""判独立要小心

- 变量下 独立（模板第一条的 判据直接就是独立的定义式）。

但取值多于两个时就不成立了。本节 880 基础解答 1 就是活生生的例子： 取 、 取 ，算出 却明显不独立。

表：不相关独立更大的表：不相关独立

必考

880 第十九章基础解答 1

原题 设 与 的概率分布分别为

01
01

且 . 求：(Ⅰ) 的概率分布；(Ⅱ) .

解析

(Ⅰ) 条件 是纯逻辑约束。注意，（因为 只取 ， 只取 ，两者的平方都只能是 或 。）于是（以概率），这一步把两个”零格族”同时定死：，剩下三格靠边缘逼出：

  • （该行只剩这一格）；
  • （该列只剩这一格）；
  • （同理）。

验算行和： ✓

(Ⅱ) 由边缘：，。乘积期望只有两个非零项：

，但 与 绝不独立

表里有零格：，而 。 事实上 完全由 决定（！），这是最强的依赖关系。 这是模板第五条的样板： 列的表里，不相关推不出独立。若把 的取值压成 两个， 就等价于独立了。

认出 能秒杀第 (Ⅱ) 问

加上 ，其实就是 （以概率 1）。 而 的分布关于 对称， 是偶函数——由 对称性造零协方差 立得 。 两秒钟，不用查表。 这道题本质上就是离散版的” 与 不相关但不独立”。

880 第十九章综合解答 3

原题 设随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 ，将试验 独立重复做 2 次， 表示 2 次试验中结果 发生的次数， 表示 2 次试验中结果 发生的次数. 求： (Ⅰ) 的联合分布律；(Ⅱ) .

解析

(Ⅰ) 这是 、 的三项分布：

（多项系数：把 2 次试验分成 次 、 次 、 次 。每种具体排列的概率都是 。）

右下三角全为 ，因为 （总共只做 2 次）。总和 ✓

(Ⅱ) 边缘是二项分布 （“是不是 “就是伯努利试验），故，乘积期望只有 那一格非零（其余格子里 或 为 ，或概率为 ）：

另解（套多项分布公式，不列表） 由模板第四条，

第 (Ⅱ) 问可以完全跳过第 (Ⅰ) 问的表。

负相关是结构性的

这个约束意味着 大了 就得小。只要总次数固定，任意两类的计数必然负相关。 极端情形：若只有两种结果（），则 ，。公式验证： 时 ✓ 越多，每一对的负相关越弱（ 变小）——这个单调性很符合直觉。

1000 强化第6章 11

原题 设随机变量 ，随机变量 ，且 . 求： (1) 二维随机变量 的概率分布；(2) 和 的相关系数 ；(3) 的值.

解析 这是模板第二条的标准演练：两个 - 变量 一个协方差 联合表唯一确定。

，。

(1) 按四步走：

（四格全为正 ✓——如果算出负数，说明给定的 不合法，这是一个必须做的检验。）

(2)

(3) 只取 （都是 - 变量），且 ：

分母 的化简技巧

，而 ——分母恰好是 ，与分子的 对消。 出题人把 设成 就是为了这个约分。看到协方差是个”怪分数”，先算 ，多半能对上。

检验四格非负是必要步骤

给定边缘后， 的取值范围是有限的：本题要求 ，即 。 若题目给一个越界的 （比如 ），联合表就会出现负概率——无解。 这也解释了为什么 达不到 1：- 变量的边缘不同（ vs ）时，不可能完全线性相关。

1000 基础第4章 20

原题 设随机变量 和 相互独立且服从相同的分布，，，，又 为奇数为偶数 (1) 求 的分布律；(2) 取何值时， 和 相关？说明理由.

解析 先把 翻译清楚： 只取 ，故为奇数，先列 的联合表（第 (2) 问要用，第 (1) 问也从它读出）。由 ：

(1) 只取 ，且 ：

(2) 边缘：，。由模板第一条，

（用了 ）。因 故 ，于是

时与相关时不相关（此时还相互独立）

时不但不相关，而且独立

时表变成四格全为 ， 与 显然独立。 这与模板第五条一致： 表下不相关就是独立，所以这里不需要额外验证。 直觉：公平硬币下，“第二枚与第一枚是否相同”这件事完全不透露第一枚的信息——这正是”异或与其中一个输入独立”的经典结论。偏心硬币（）就没有这个对称性了。

的符号会变

时为正， 时为负。题目只问”何时相关”，所以不必讨论符号，但如果问”何时正相关”就要注意。 另外 或 时 ——两端都趋于 0，中间某处取到极值。这与下面拓展里 880 综合解答 6 的结构完全一样。

拓展

1000 基础第4章 12

原题 随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 . 将试验 独立重复做 2 次， 表示 2 次试验中结果 发生的次数， 表示 2 次试验中结果 发生的次数，则 与 的相关系数为（　）. A. 　B. 　C. 　D.

解析 与上面 880 综合解答 3 是同一道题，一字不差，只是 880 要求先列联合分布律、这里直接问 。

套多项分布公式（模板第四条）：

选 A。

选择题只需定符号 + 一个数

符号必负（总次数固定 此消彼长），C、D 直接出局。 剩下 与 ：公式给 。 或者极端情形校准：若只有两种结果，；三种等概时应当比 弱一些但不会弱太多， 比 更合理。

两本书出同一道题，说明这是必考点。 记住三项等概的 。

880 第十九章综合解答 6

原题 设 与 相互独立，. 令

(Ⅰ) 求 ；(Ⅱ) 确定 的值，使 取值最小.

解析 记 。，，分布律

(Ⅰ) 是 - 变量，先算”取 “的概率更省事。

（ 只有 一种可能）。故，关键的零格（模板第三条）： 与 不可能同时发生——两个条件相加得 ， 是整数，矛盾。所以，于是由容斥

(Ⅱ) 协方差恒为负，“取值最小”就是绝对值最大，即最大化 ，等价于最大化 。由均值不等式（或求导），，等号当且仅当 ，即

那个"不可能同时为 0"是全题的支点

没有它， 就要老老实实穷举 的 种组合。 看到两个分支条件，先把它们联立看看有没有矛盾——本题里一加就出 ，一秒判死。这一招在模板第三条里，是离散联合题最省力的入口。

结果 的对称性

它关于 对称，尽管 的定义一点也不对称（一个看和、一个看差）。 这种”过程不对称、结果对称”的现象往往说明背后有更简洁的解释，也是验算的好信号：如果你算出的答案在 下不对称，多半错了。

880 第十九章拓展解答 1

原题 设随机变量 与 相互独立，且 ，，其中 ，令 ，. （Ⅰ）求相关系数 ；（Ⅱ）问 与 是否相互独立？并说明理由.

解析

（Ⅰ） 独立故 ，且，双线性展开（四项，两个交叉项都含 ）：

故

即与不相关

（Ⅱ）不独立。 取两个具体的值来破坏：

但 要求 ，而 要求 ，二者矛盾，故，所以 与 不相互独立。

出题人的设计： 恰好抵消

是 与 的关系带来的，系数 和 又配得刚好——协方差被人为地调成了 。 这是”不相关但不独立”最标准的出题手法：先造一个零协方差，再让你找矛盾格。 找矛盾格的窍门：盯住某一个原始变量（这里是 ），看两个事件对它的要求是否冲突。

与 880 综合解答 6 是同一对

两道题用的原料完全相同（ 与 独立），一道做线性组合、一道做指示变量。 线性组合那道得到 ；指示变量那道得到 。 同一批原料，变换方式决定了相依结构——这正是本章反复强调的” 不是分布的内在属性，而是某种变换后的表象”。

880 第十九章拓展解答 2

原题 设 是连续型随机变量，且 ，令

求：（Ⅰ） 的联合分布及边缘分布；（Ⅱ），.

解析 先确定 与 的位置关系：，因为 单调不减而 ，必有 。、 正是 的下四分位数与上四分位数，它们把实轴切成三段，概率依次为 。

（Ⅰ） 三段各自决定 的取值：

  • （概率 ）：；
  • （概率 ）：；
  • （概率 ）：。

注意 不可能（要求 且 ，而 ）——又一个逻辑零格。

边缘分布（行和、列和）：

（Ⅱ） 由边缘：，因为 只取 ，，故 ，

乘积期望（四格逐个乘）：

变量的好处：

取值为 时 白送，方差直接是 ，不用列表算二阶矩。 这与 - 变量的 是同一类”幂等/对合”技巧。遇到 变量先写下 。

是必然的

与 都是” 是否超过某个阈值”的指示，阈值不同但方向相同，所以必然正相关： 大的时候两个都倾向于 。 一般结论：对 ， 恒成立。 这道题是第18章”连续型的离散化：指示变量”的数字特征版——同一个构造，那里问分布，这里问协方差。

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