指示变量法
🏠 第19章概念导航
核心问题
“某某的个数”的期望怎么求？
直接求”个数”的分布往往要面对组合恒等式（超几何就是典型）。指示变量法把一个复杂的计数变量拆成一堆最简单的
核心定义 / 定理 / 结论
一、指示变量及其数字特征
两个指示变量的乘积仍是指示变量：
推论：
二、方法
触发词：题干里出现”……的个数""……的次数""有多少个……”。
设变量的原则：问什么的个数，就对什么编号设
三、为什么这么强：期望的可加性不要任何条件
不需要独立、不需要同分布，
与之对照，方差挑剔得多：
期望随便加，方差要检查相关性。
四、招牌战果：超几何分布的期望
证明一行：令
按定义硬算则要面对
方差就不一样了：
五、“随机的比例”：全概率的期望版
若袋中白球数
典型题型
- 超几何/二项的期望：
一步到位 - 占位问题：“空盒个数""被覆盖的格子数”——对盒子设指示变量
- 样本中满足条件的个数：
，经验分布函数的雏形 - 随机总量下的比例：
- 协方差：
- 变量的 ，见 由数字特征反推联合分布
图示 / 直觉
把”个数”想成一排开关。
- 求平均亮几盏：把每盏灯单独看，算它亮的概率，全部加起来。一盏灯亮不亮会不会影响别的灯？完全不用管。
- 求波动有多大：这时候就必须管了——如果灯之间”此亮彼灭”（负相关），总数就比各自独立时更稳定。
这个”不用管相互影响”的自由，正是期望可加性的全部价值。 超几何与二项期望相同、方差不同，就是这句话最干净的例证。
对称性的图像：把
常见误用
1. 指示变量设错对象
问”空盒的个数”却对球设变量，会发现对不上。问什么的个数，就对什么设。
2. 以为期望可加需要独立
不需要。本方法的全部威力就来自这一点。反过来，方差可加确实需要（至少要不相关）。
3. 常数项在期望里加、在方差里丢
时 而 。 。
4. 忘记有限总体修正因子
不放回时方差要乘
。只有期望不受影响。
与旧知识的连接
- 第16章的容斥原理：
用指示变量写就是 ，取期望即得。指示变量把集合运算变成了代数运算。 - 第18章的连续型离散化：把连续变量按阈值切成
- 变量，见 连续型的离散化：指示变量。 - 第21章的经验分布函数：
，其期望为 （无偏）、方差为 （相合）。本章的 就是它。 - 组合数学：指示变量法是”双计数”技巧的概率版本。
题型训练
- 指示变量法：把和拆开求期望（6 题）
- 离散型：由数字特征反推联合分布（8 题）
- 次序统计量的数字特征（8 题，其中”有几个大于
“那一问）