考研笔记

中心极限定理的标准化：认出 与 ，再反解常数

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方法模板

一、列维—林德伯格中心极限定理

设 独立同分布，，，则

即

三个位置各有各的含义，一个都不能记混：

原始的和 分母是标准差（要开方），且，在根号里

二、两种常见包装，公式其实是同一个

对象期望方差标准化
和
均值

两个分式恒等（上下同除 ），用哪个看题目给的是和还是均值。

近似记法（做数值题时最顺手）：

三、反解常数题的统一解法：让”你的式子”等于”标准式子”

这是本节五道题里四道的模板。题目给你

某个线性组合某个分母

要你定出里面的待定常数。唯一的方法是把两个式子摆在一起逐项对齐：

①算出分子里的和②算出分子里的和③令题目的分子分母与之成比例

更省事的等价做法（推荐）：既然题目断言那个式子 ，那么

题目的式子的期望必须是，方差必须是

直接对题目的表达式求期望和方差，令 、，解出常数。不用去回忆标准形式长什么样，两条方程直接给答案。

四、 的伸缩：

选择题最爱考这一步。若已知 ，而题目问的是 ，则

分母比正确标准差大倍答案是（被放大倍，不是缩小）

方向极易记反。验算法： 时式子被压扁、更集中，落在 里的概率更大（对 ），而 ✓。

必考

880 第二十章 基础选择 1

原题 设 是总体 的简单随机样本，且 ，，根据中心极限定理，当 充分大时， 近似服从（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

被平均的是 ，不是 。 令 ，则 独立同分布，且

是 的样本均值，由中心极限定理

选 A。

逐项排除：

  • B：方差漏了 。 是 除以 之前每一项的方差——“平均”必然把方差压缩 倍，这是大数定律和中心极限定理共同的核心。
  • C：期望写成了 。被平均的是 ，期望当然是 。这是” 套错”的经典错误。
  • D：方差写成 ，即 ，把 的两项弄反或只留了后一项。

四阶矩出现，就是在暗示"要算 的方差"

题目特意给到 ，唯一的用处就是 。 看到条件里给了用不上的高阶矩，先想想是不是要对某个 求方差。 同理， 在本题里是纯粹的干扰项，一次都没用到。

在期望里还是在方差里

期望不变，方差除以

A 与 B 的唯一差别就是这个 ，A 与 C 的唯一差别是 还是 。 四个选项精确覆盖了两个独立的错误维度（期望对不对 × 方差有没有除 ），蒙对的概率是 ，想清楚这两问才是 1。

880 第二十章 基础填空 4

原题 设随机变量 相互独立，且均服从 . 若存在常数 ，使得

其中 为 的分布函数，则 ____.

解析

先把”被求和的东西”整体打包。 令，由于下标 两两不重复， 相互独立同分布（这一步必须交代：每个 用掉两个原始变量，且各 用到的变量互不相交）。

（ 的方差是 ；相减时方差相加。）

用”期望 0、方差 1”两条方程：题目的式子记为 。

（自动成立）

令 ：

（题目要求极限是 而非 ，故取正号。）

另解（对齐标准形式）

与题目的 逐项比对，立得 。

为什么不行

若 ，则 的分布其实也成立（标准正态关于 0 对称，）。 所以严格地说 都使极限等于 。但填空题按惯例取正，写 。 若题目改成""就没有歧义；碰到没限定的，答案写 并在旁注 最稳。

差的方差是加，不是减

独立

写成 是本题第一大错，一旦方差为 0， 无解。 方差永远非负，两个非退化变量的差不可能没有波动。 见 协方差的双线性展开。

分母 里的 是 的个数，不是 的个数

题目一共用到 共 个原始变量，但求和号里只有 项 。 中心极限定理里的 数的是”独立同分布项的个数”，本题是 不是 。 若误按 走，会得到 ——这正是把 逐个当项、忘了配对的典型结果。

1000 基础篇 第5章 6

原题 设随机变量 相互独立，且均服从二项分布 ，若根据中心极限定理，有 ，其中 为标准正态分布函数，则 ____.

解析

这道题与上面的 880 基础填空 4 是同一道题，只是把分母的 挪到了不等号右边：

（，移项不变号。）所以答案相同：

完整推导见上一题。这里只补一句独立性的确认： 相互独立， 用到的下标对 互不相交，故 相互独立；又都是 之差，故同分布。，，于是

两本书完全同题——把它当作"两遍确认"

李林 880 第二十章基础填空 4 与张宇 1000 基础篇第 5 章第 6 题，变量、参数、答案全部相同，只是常数写在分子还是移到右边。 两本独立命制的题库撞题，说明这个模型（ 的两两差）是本节的标准考法，必须一眼认出。 记住它的三个数字：，，。

不等号右边带 ，别以为要重新推导

遇到 这种写法，先把 除过去还原成标准形式，再对齐。 直接盯着原式硬对会把 的位置弄反，得到 。 规范化的第一步永远是：把式子整理成”（和 期望）/ 标准差”。

1000 基础篇 第5章 3

原题 设随机变量 相互独立且均服从 ， 是标准正态分布的分布函数，则 （　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

：

先把题目的分子中心化——注意 ：，再和标准形式比。标准形式的分母是 ，于是

所以极限分布是 ：

选 C。

另解（“期望 0、方差 1”两条方程，不用对齐）

记 。

期望 0 ✓、方差 ，所以 ，即 ，这条路更快：不需要摆出标准形式，只要算 和 ，答案就是 。

一步到位的公式

除以标准差，不是乘。 本题 ，答案 。 选项 (B) 就是这一步做反的产物，(D) 是漏了分子上的因子 2 或把 与 弄混。

别忘了分子上的系数 2 要平方

。若把 算成 ，得 ，正落进 (D)。 命题人把”漏平方”的结果直接摆成选项，这是选择题的常规布局。

1000 强化篇 第7章 1

原题 设 是来自总体

的简单随机样本，若取值为 2 的样本个数 满足 ，其中 为标准正态分布函数，则 分别是（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

第一步：认出 的分布。

“取值为 2 的样本个数”——每个样本点独立地以概率 取到 2， 个样本相互独立，故，（分布律的四个概率 ✓，先做这个验算再往下走。）

第二步： 只能是期望与标准差。

要求 、，即

选 B。

四个选项就是" 放对了没有"的四种组合

选项病症
(A)两处都漏 ：写成了单个 的期望方差
(B)正确
(C)期望漏
(D)标准差漏

在期望里是一次方，在标准差里是 。 这两个位置是本节最高频的丢分点。 快速排除： 里必须有 （否则 时式子不收敛），先砍掉 (A)(D)； 必须随 增长，砍掉 (C)。不用算 就能选出 B。

棣莫弗—拉普拉斯定理就是二项分布版的中心极限定理

它是列维—林德伯格定理取 的特例（）。 “个数""次数”型的中心极限定理题一律用它，与伯努利大数定律是同一个模型的两个精度层次：

大数定律：（说位置）中心极限定理：（说涨落）

分布律里的 和 一次都没用上

本题只需要 。其余三个概率的唯一作用是让你确认它们加起来是 1（顺带验证 抄对了）。 “个数”型题目一旦把关注的取值挑出来，总体就退化成两点分布——其余取值全部合并成”不是它”。这正是指示变量法的思路。

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