考研笔记

不同分布也能用：切比雪夫大数定律与伯努利大数定律

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方法模板

一、三个大数定律的分工

考纲里的大数定律一共三条，区别只在”对 要求多严”：

名称对 的要求结论
切比雪夫相互独立，方差一致有界 ；不要求同分布
辛钦独立同分布， 存在；不要求方差存在
伯努利 重伯努利试验， 为 发生次数
同分布用辛钦；不同分布但方差有界用切比雪夫；数频率用伯努利

三者不是并列的三条定理，而是同一件事在三种前提下的三个版本：

  • 伯努利是辛钦的特例（取 即得，见 指示变量法）；
  • 切比雪夫与辛钦互不包含：切比雪夫放松了”同分布”，却收紧成”方差有界”；辛钦放松了”方差存在”，却收紧成”同分布”。

挑定理的一句话判据

题面里 的分布随 变（参数带 、下标出现在分布里）→ 一定是切比雪夫。 因为辛钦此时根本用不了。反过来，题面说”简单随机样本”就是”独立同分布”的同义词，用辛钦。

二、切比雪夫大数定律的证明模板（考解答题就是默写这三行）

设 相互独立，。记 。

①独立 ②切比雪夫 ③夹逼 引擎是：除以时方差被除以

这就是上一章反复算的 （见 协方差的双线性展开）在本章的用途——当时是一道计算题，现在是一条定理的心脏。

方差"一致"有界，不是"每个都有限"

必须存在与 无关的常数 使 对所有 成立。 若 （每个都有限，但没有公共上界），则 ，定理失效。 写证明时必须显式指出方差的一致上界，这是评分点。

三、伯努利大数定律的真实身份：频率估计概率

“数个数除以 “看到就是它。 触发词：”……的个数"""……的比例""频率”。

推广形式（第21、22章的经验分布函数）：

必考

1000 基础篇 第5章 2

原题 设 是来自总体 的简单随机样本， 服从 上的均匀分布，记 ，，则 依概率收敛于 ____.

解析

的定义里下标 同时出现在两处：。所以第一反应必须是—— 还同分布吗？

只依赖 ，而 相互独立，所以 相互独立是没问题的；有疑问的只是同分布。下面两条路，一条绕开这个问题，一条正面解决它。

解法一：不管同不同分布，用切比雪夫大数定律

先算每一项的期望（ 为正整数）：

第二项 （ 为整数，），于是

与无关！

再看方差：，有界随机变量的方差 ，一致有界。

切比雪夫大数定律的两个条件（独立、方差一致有界）齐了：

而

故 。

另解（看穿它其实同分布，一步用辛钦）

就是”在单位圆周上均匀取一个角”。而

在圆周上均匀在圆周上仍然均匀

——把圆周绕 圈，每一圈都均匀地铺满，叠起来还是均匀。严格地说：，按模 折回 后密度是 个 相加 ，正是均匀密度。

余弦以 为周期，只看得见折回后的角，所以对一切正整数，于是 独立同分布，辛钦大数定律直接给出

圆周均匀性在整数倍下不变——一个值得单独记住的事实

这一条能秒杀一批”下标混进函数里”的题。没看出来也不亏——解法一的切比雪夫路线同样两行到底，且更稳。 但看出来了就知道：本题的 完全是障眼法，答案与 无关是必然的，不是巧合。

求的是 ，别去算

。 答案填 0 是本题最主要的错误——那是 的极限，不是 的。

平方号在求和号里面，必须先平方再取期望。这是LOTUS 的老规矩：。

880 第二十章 基础解答 3

原题 设随机变量序列 独立， 的分布律为

其中 ，利用大数定律证明：

解析

第一步：确认不能用辛钦。

的取值 和概率 都随 变，所以 不同分布。辛钦大数定律用不了，只剩切比雪夫这条路——那就必须去检查方差。

第二步：算 与 。

分布关于 对称（ 概率相等），故

与无关

这就是本题的全部设计：取值放大 倍（），概率缩小 倍（），平方一乘正好抵消。方差不但一致有界，而且是常数 。

第三步：套切比雪夫大数定律（三行模板）。

记 。由 相互独立，

对任意 ，由切比雪夫不等式

令 ，右端 ，由夹逼准则

写证明时的三个得分点

  1. 明确指出” 不同分布，故用切比雪夫大数定律”——不写这句，阅卷人不知道你判断过；
  2. 算出 并指出它一致有界——这是定理条件的验证，是核心分；
  3. 用夹逼（左端补 ）——概率非负这一句省不得，否则只证了” 某个趋于 0 的量”。

三步齐了才是完整证明。只写”由大数定律得”是零分。

让人误以为可以用辛钦

期望全相同（都是 0）不等于同分布。辛钦要的是分布相同，不是期望相同。 这也是 880 基础选择 2 的考点：“具有相同的期望与方差”推不出中心极限定理，同理也推不出辛钦大数定律。

同期望同分布

如果概率不是 会怎样

把概率改成 ，则 ，，切比雪夫大数定律不再适用。 所以指数 是被精心挑出来的： 恰好抵消 里的 。 命题人给这组数据就是要你算出 与 无关这个”惊喜”——算不出这一步，题目就写不下去。

1000 强化篇 第7章 3

原题 设总体 服从参数为 1 的泊松分布， 为来自总体 的简单随机样本. 记 为 个观测值中不大于 1 的个数，则 依概率收敛于（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

”……的个数除以 “——伯努利大数定律的触发词。用指示变量把它写出来：

独立同分布，期望 （$EI_A=P(A)$），由辛钦（伯努利）大数定律，，即 ，

选 B。

"不大于 1"包含 和 两项

四个选项精确对应四种误读：

选项对应的误读
(A) 只算了 （或只算 ），漏掉一项
(B) ✓
(C) 算成了
(D) 算成了

泊松分布取值从 开始，“不大于 1”就是 两个点。 时两项概率恰好相等（都是 ），加起来是 不是 。

这个量的统计学身份：经验分布函数

是经验分布函数在 处的值——用样本中”不超过 1 的比例”估计真值 。 大数定律保证它相合（依概率收敛到真值）；上一章 880 第十九章算过同一个量的方差 ，两章拼出完整图景：

无偏（）方差相合

这正是切比雪夫大数定律的证明逻辑，也是第22章判断估计量好坏的两把尺子。同一道题在三章里各被用一次。

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