切比雪夫不等式

🏠 第20章概念导航

核心问题

只知道期望和方差，对概率能说多少？

分布往往是不知道的，或者知道也难算。但 与 这两个数常常是现成的（第19章算了整整一章）。切比雪夫不等式回答：光凭这两个数，就能给概率划出一条硬边界。

核心定义 / 定理 / 结论

一、不等式

设 ， 均存在，则对任意 ，

两个方向是同一句话。 题目问”不超过”用左式，问”不小于”用右式。

三个必须记牢的细节：

1. 中心只能是 ，不能换成中位数或别的数；
2. 分母是 ，不是 ；
3. 对分布没有任何要求——离散、连续、混合型一律适用，这是它最大的价值。

二、证明（一行，值得会）

以连续型为例：

它为什么松，从证明里一目了然：第二步把远处所有点一律当成”刚好在 处”，实际上更远的点贡献大得多。

三、 形式

取 ：

	切比雪夫的界	正态分布的真值
1	（废话）
2
3

差了一到两个数量级——这就是”不假设分布”的代价。它换来的是普适性。

四、马尔可夫不等式（切比雪夫的上游）

对非负随机变量 与 ，，取 、 就得到切比雪夫不等式。考纲不要求，但知道这层关系就不会记错分母上的平方：平方是从 带来的。

典型题型

第③步是全部难点： 能用切比雪夫，当且仅当 ，此时 。

三类常考包装：

• 正用：给 和区间，求界（第20章第一节）；
• 反用：给界，反解分布参数或 ；
• 证明用：作为大数定律的证明工具，配合 。

图示 / 直觉

把方差想成”质量分布对中心的转动惯量”：离中心远的质量，被距离的平方放大后计入 。 所以反过来， 小就意味着远处不可能有太多质量——这正是不等式的内容。

常见误用

1. 区间不以 为中心还硬套。 这时得到的界不对应题目的事件。正确做法是取被包含的最大对称区间（界会更弱）。
2. 分母写成 而非 。
3. 忘了 里的协方差项。 求 时若 ，必须加 （协方差）。这是切比雪夫题的头号失分点——错在方差，不在不等式。
4. 拿它做数值近似。 界太松， 与正态真值 相去甚远。要”值”必须用中心极限定理。
5. 时以为算错了。 此时界是负数或零，不等式虽然成立却毫无信息——这是它的固有局限，不是计算错误。

与旧知识的连接

• 高数的积分放缩：证明用的两步正是”缩小积分区域 被积函数取下界”，与定积分不等式的证法同源（参见柯西—施瓦茨积分不等式的同类手法）。
• 线代的半正定： 对一切 成立，等价于协方差矩阵半正定；切比雪夫不等式则是”方差非负”的定量加强版。

题型训练

• 切比雪夫不等式：把方差翻译成概率界（4 题）
• 非同分布场合的大数定律（证明模板）
• 定理前提的辨析（Ⅰ问为标准用法）

链接

• 大数定律
• 中心极限定理
• 方差、标准差与矩
• 协方差与相关系数