考研笔记

均匀分布族与极值统计量

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一、为什么 值得单开一节

因为它是唯一一个能把点估计、分布、无偏、有效、相合、区间估计六件事全部串在一道题里的模型， 而且这六件事都能算到底、算出封闭表达式。考研解答题里它出现的频率排第一。

二、 的完整档案（）

推导只需一行：所有。

（一个公式管住所有阶矩）

三、归一化技巧：只记 的结论

所有 、、 的题，第一步都是化到 。 这样只需记住 一条，其余全靠代换。

四、三个标准估计量与它们的排名

估计量来源
矩估计（无偏）
最大似然（有偏）
MLE 的无偏修正（无偏）
修正后的完胜矩估计，而且优势随线性拉大

时两者相等（），这正是题目常写""的原因。

五、极值统计量的区间估计：用 作枢轴量

的分布不含它是枢轴量

于是

令它等于 ，解出 。这是”非正态总体的区间估计”唯一会考的类型。

必考

880 第二十二章 基础解答 5

原题 设总体 的概率密度为 其他 其中 为未知参数， 为 的简单随机样本。求： （Ⅰ） 的最大似然估计量 ；（Ⅱ） 和 。

解析

（Ⅰ） ，约束 。 关于 严格递减 → 取左端点：

（Ⅱ） 由 得密度 （）：

（分子化简：。）

两个数字的量级

—— 永远够不着 ，系统性偏小，这是必然的（ 恒成立）。 ——比一般估计量的 快一个数量级。

记忆法： 的分母是 ， 的分母是 ，方差的分子只剩一个 。

880 第二十二章 基础解答 22

原题 设总体 ，， 为来自总体 的简单随机样本，若 的最大似然估计量为 。 （Ⅰ）求 和 ； （Ⅱ）证明：对任意 ，有 ； （Ⅲ）若以 （）作为 的置信区间，置信度为 ，求 的值。

解析 ，（Ⅰ）的答案见上题。本题的价值在（Ⅱ）（Ⅲ）。

（Ⅱ）相合性。 因 恒成立，，故对 ：

（底数在 内。 时概率恒为 ，结论平凡成立。）

另证（切比雪夫，更通用）

再由 即得。均方收敛 依概率收敛（第20章）。

（Ⅲ）区间估计。 用枢轴量 ，（）：

为什么区间可以只往右开

以概率 成立，所以左端点取 是”免费”的（那一侧的错误概率为 ）。 这是单侧置信区间的一个天然例子：全部 的风险都留给右侧。

对比正态总体的 ——那里必须两侧各留 。 区间对不对称，取决于枢轴量的分布对不对称，不取决于习惯。

1000 强化篇 第9章 11

原题 设总体 服从 上的均匀分布，， 为来自总体 的简单随机样本，并记 ，。 (1) 求 的最大似然估计量 ； (2) 求 的分布函数； (3) 若 ，，求 。

解析 这是 880 第二十二章基础解答 22 的一般化（把 换成 ），并且把枢轴量单独列成一问。

(1) （同上）。

(2)

不含是枢轴量

(3) 设 （区间上端必须是统计量，否则不是置信区间）：

代 验算： ✓ 与 880 的答案一致。

枢轴量三件套

①构造一个分布不含未知参数的量②对它写概率不等式③反解成参数的区间

正态总体用的枢轴量是 或 ； 均匀总体用的是 。三件套的骨架完全一样，见 区间估计。

1000 强化篇 第9章 9

原题 设总体 服从 上的均匀分布， 为未知参数， 为来自总体 的简单随机样本。求： (1) 的最大似然估计量 ；(2) 的分布函数；(3) 。

解析 参数以 的形式出现在上界——先估 ，再用不变性倒过来。

(1) 记 ，则 ，。由最大似然的不变性

(2) 对 （注意 恒成立，故 时概率为 ）：

而 的分布函数为 （）：

(3)

取倒数会把不等号方向翻过来

（）。漏掉这次翻转是本题的头号错误。

一个可以自查的结构性事实： 恒成立 恒成立。 所以 是系统性偏大的（与 里 偏小恰好相反，因为取了倒数）。 由此 ✓，(3) 的第二项必为零——这就是验算。

1000 强化篇 第9章 10

原题 设总体 ，其中 是已知常数， 是未知参数， 是来自总体 的简单随机样本，求： (1) 的矩估计量 及 ； (2) 的最大似然估计量 及 。

解析 令 ，则 ——平移之后就是标准模型。

(1) ，令 ：

（无偏）

(2) ，约束 即 。递减 → 取左端点：

由 是 个 的最大值：

（有偏，偏小）

"平移到标准形"是均匀分布族的通用第一步

、、、 全部先化成 或 ，再套那三个现成的数字。

本题里 已知是关键：若 也未知，就变成两参数问题， MLE 会是 、（左端点取 、长度取极差）。

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