有效性

🏠 数理统计概念导航

核心问题

无偏估计常常有无穷多个，谁最好？

第二把尺子：波动小的赢。 同样是”平均对”，方差小的那个更可能落在真值附近。 这就是有效性，也是”合并样本方差""加权平均”这些公式的唯一来源。

核心定义 / 定理 / 结论

一、定义

若给的估计量有偏，必须先修正成无偏再比；否则可以用一个常数（方差为 ）赢过一切。

二、最优加权公式（本篇核心）

设 相互独立、都无偏、方差为 ，取 ：

两个必须秒答的特例：

方向记忆：极端情形 （第二个估计量毫无信息）时 ——彻底忽略它。

三、两条不用拉格朗日的证法

（a）柯西—施瓦茨（方差相同的情形）：

（b）配方（两项，）：

四、：加权题的引擎

正态总体下：

于是合并样本方差的定义式就有了来历：

五、量级判据： 还是

的经典对决：

时两者相等——这就是题目常写""的原因。

六、直觉解释：为什么”扔掉信息”反而更有效

若某些观测的区分对估计 毫无帮助（例如两个取值的概率都正比于 ）， 硬去区分它们只会引入额外波动。最大似然会自动把这类类别合并，方差因此更小。

典型题型

1. 反解权重使方差最小 —— 无偏定约束，配方或柯西求极值。
2. 比较两个无偏估计 —— 分别算方差，作比看 的量级。
3. 选择题”方差最小的是” —— 直接套最优加权公式，认出哪个选项就是最优解。
4. 先修正无偏再比 —— 边界型题的标准第二步。

图示 / 直觉

最优加权的直觉：开会时，让测量更精确的仪器说话更响。 权重 就是”精度”（方差的倒数在统计里正叫 precision）的归一化。

常见误用

1. 对有偏估计比有效性 —— 必须先修正。
2. 权重方向搞反 —— 方差大的权重小，不是大。
3. 忘了无偏约束 —— 不加约束的话 方差最小但毫无意义。
4. 的分母写成 —— 是 。
5. 忽略”独立”这个前提 —— 不独立时 要补协方差项。
6. 两样本容量不等却对半加权 —— 权重要按自由度分配。

与旧知识的连接

• 方差与矩 —— 全部计算的基础。
• 正态总体的抽样分布定理 —— 的来源。
• 三大抽样分布 —— 的 。
• 最大值与最小值的分布 —— 边界型估计量的方差。
• 协方差与相关系数 —— 估计量不独立时的修正项。

题型训练

• 有效性与最优加权
• 均匀分布族与极值统计量
• 边界型最大似然

链接

• 上游：无偏性 · 正态总体的抽样分布定理 · 方差与矩
• 平行：相合性
• 下游：正态总体的检验统计量（ 的用武之地）
• 章节导航：数理统计