正态总体的抽样分布定理

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核心问题

正态总体好在哪里？好在 与 的分布是精确知道的，而且它们相互独立。

对一般总体，第20章只能给出 的近似分布（中心极限定理），而 的分布完全说不出。 正态总体把这两件事都变成等式——整个参数估计与假设检验的可计算部分，全部建立在本篇的三条定理上。

核心定义 / 定理 / 结论

一、三条基本定理（单个正态总体）

设 是来自 的简单随机样本：

二、由①②③合成的两条实用式

第二式的推导（一行，说明为什么自由度是 ）：

三、 已知与未知：自由度差一

这条决定了 的方差是 还是 ，是压轴小题的分水岭。

四、 的期望与方差

由②与 的两个数字（，）：

这是 有效性 整章的引擎，也是合并样本方差 的来历。

五、 与 ：一减一加

减号来自 参与了 的构造（协方差为正， 要减掉）；加号来自独立（方差直接相加）。

六、两个正态总体

设两组独立样本分别来自 （容量 ）与 （容量 ）：

当 时后式简化为 —— 全部消掉，这是 检验能用的原因。

未知时的均值差检验：

典型题型

1. 、 —— 用③拆开，交叉项归零。
2. 反解系数使某式服从 —— 系数 ，注意样本内/外用不同的方差。
3. 反解样本容量 —— 由①标准化后解不等式。
4. 构造 或 —— 分子用①、分母用②，独立性由③保证。

图示 / 直觉

同一个 ，两种尺度：

第20章说这个收缩在 时把 压成一根针（大数定律）， 并且形状趋于钟形（中心极限定理）。正态总体把”趋于”改成”就是”。

③的直觉：正态分布的”位置”与”尺度”是正交的两组信息—— 只携带位置信息， 只携带尺度信息，互不干扰。 这个性质在别的分布族里一般不成立（例如指数分布， 同时决定了均值和方差）。

常见误用

1. 把 当成 —— 少了 ，正确的是 。
2. 写成 或 —— 是 ； 是标准差。
3. 在非正态总体上用③ —— 独立性会失效。
4. 未知却用 —— 必须换 。
5. 已知时自由度还写 —— 应为 。
6. 两样本之差的方差写成相减 —— 独立时方差永远相加。
7. 与 混用 —— 一个 、一个 。

与旧知识的连接

• 三大抽样分布 —— ②③的结论用它们的语言表述。
• 独立同分布之和的标准化 —— ①是它在正态总体下的精确版。
• 中心极限定理 —— 非正态总体时①退化成近似式。
• 协方差与相关系数 —— 第五节 的计算。
• 方差与矩 —— 由 的 推出，而后者来自 。

题型训练

• 样本均值与样本方差的性质
• 从正态样本拼出 χ²、t、F
• 反解样本容量

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