总体、样本与统计量

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核心问题

前面五章都在”已知分布，求性质”；从这里开始要”已知数据，猜分布”。方向反了，语言也得换一套。

第16–20章的对象是一个随机变量及其分布。第21章起对象变成一堆数据， 而”数据”在数学上必须被建模成随机变量——否则概率论的工具一件都用不上。 本篇就是这套翻译词典。

核心定义 / 定理 / 结论

一、四个基本对象

二、简单随机样本：两条要求

这两条合起来叫 i.i.d.（独立同分布），是本章一切公式的前提。它给出——联合密度可以写成乘积，这正是似然函数的来历。

三、统计量的定义要求：不许含未知参数

理由很实际：统计量必须能从数据算出来。含未知参数的式子写得出、算不出。

这条在选择题里直接送分（无偏性 的 1000 基础 17 就靠它砍掉两个选项）。

四、五个常用统计量

—— 两者只差这一个因子，但题目问哪个就写哪个。

五、对任意总体都成立的三条恒等式

只要 、 存在：

第三条的推导（三行，值得会）：

这就是分母取 的全部理由（见 无偏性）。

六、次序统计量

把样本从小到大排列得 ，称为次序统计量。考研只用两端：

推导各一行：；。

详见 最大值与最小值的分布。

七、经验分布函数（相合性的第一个例子）

对固定的 ，，由伯努利大数定律

这是”用数据还原分布”这件事在数学上合法的第一个证据（见 大数定律）。

典型题型

1. 判断某个式子是不是统计量 —— 看含不含未知参数。
2. 算 、、 —— 直接套第五节三条。
3. 与 的换算 —— 差因子 ，矩估计里高频。
4. 极值统计量的分布 —— 见 均匀分布族与极值统计量。

图示 / 直觉

四个箭头对应四种不同的东西，考研里最容易混的是第二个与第三个：

所以”求 、“才有意义（对估计量），而”求 的矩估计值”要代数字。

常见误用

1. 把 的分母写成 —— 那是 ，也是正态总体 的最大似然估计，但不是 。
2. 在 未知时写 —— 这不是统计量。
3. 以为 需要正态 —— 不需要，任何有二阶矩的总体都成立。
4. 以为 与 总是独立 —— 只有正态总体才独立（见 正态总体的抽样分布定理）。
5. 把 当成真的 —— ， 有偏。
6. 对”总体”作实体化理解 —— 说”总体有 个个体”是错的语言；总体就是分布本身。

与旧知识的连接

• 独立性 —— i.i.d. 的第一条；联合密度可乘的依据。
• 期望与 LOTUS —— 算 、 全靠期望的线性性。
• 方差与矩 —— 是”独立和的方差可加”的直接推论。
• 大数定律 —— 保证了样本能代替总体，这是整个数理统计的执照。
• 中心极限定理 —— 给出 的近似分布，正态总体下升级成精确分布。

题型训练

• 样本均值与样本方差的性质
• 反解样本容量
• 无偏性

链接

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