考研笔记

从正态样本拼出 、、

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方法模板

一、三个定义式（必须默写级）

设 独立且都服从 ，，， 与 独立：

三句话记住它们的形状：

  • ：标准正态的平方和，自由度 加了几项；
  • ：分子一个标准正态，分母是另一个独立 除以自由度再开根，自由度 分母的自由度；
  • ：两个独立 各自除以自己的自由度再相除，自由度先分子后分母。
每一个都要除以自己的自由度，的分子不除

二、解题流水线（四步，一步都不能跳）

题目给的永远是 或 的某个组合，要你认出分布。固定走法：

①标准化：每一块除以自己的标准差，凑出②数自由度：平方和里有几个独立的③查独立性：分子块与分母块是否用了不相交的④按定义式配系数：每个除以自由度

第①步的关键：，所以

一个和的平方只贡献 1 个自由度，不管它是几项加起来的。这是本节最高频的失分点。

三、 必然消掉——这是一条验算通道

、、 都是比值或标准化量， 一定被约掉。所以：

最终答案里若还剩，一定算错了

反过来用：当 未知时，能写出来的统计量必然是 或 ，不可能是 或正态。 这条在假设检验里决定选哪个检验。

四、独立性的两条捷径

  1. 用了不相交的 → 独立（简单随机样本本身独立）；
  2. 用了相交的 ，但联合正态且协方差为 → 独立。

第 2 条是压轴题的钥匙：正态分布下 不相关 独立（见 不相关与独立）。例如 与 共用了 ，但于是它们独立，可以放进 的分子分母。

必考

880 第二十一章 基础选择 1

原题 设 为总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为（　）。 A. 　B. 　C. 　D.

解析 四步走。

① 分子：，故 。

② 分母：，自由度 。

③ 分子用 ，分母用 ，不相交 → 独立 ✓。

④ 按 的定义式，：

自动约掉 ✓。故 选 A。

看到绝对值就想 ，看到平方就想

分母带 （一次方、开了根）→ ；分母是平方和（二次方）→ 。 这道题分母是 而非 ，答案必然在 A、B 之间，再数自由度就定了。

880 第二十一章 基础选择 3

原题 设 是来自总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为（　）。 A. 　B. 　C. 　D.

解析 ，故 ——系数 正是为了凑这个。

同理 ，。

两块用了不相交的样本 → 独立， 有可加性：。选 C。

B 是为"数样本个数"的人准备的

用了 个样本，但自由度是 不是 。自由度数的是独立的 的个数，不是 的个数。 一旦把 个 压成 个和，信息就只剩 维了。

880 第二十一章 基础解答 1

原题 设 为总体 的简单随机样本，若 使 服从 分布，求 的值及 分布的自由度。

解析 这是上一题的”反解版”：已知要凑成 ，反求系数。

每一块的系数 该块的方差。 这里 ：

块项数 方差 系数

三块用了不相交的样本 → 独立，每块贡献 个自由度：

一句话记住

系数就是方差的倒数，自由度就是块数。 不管每块里有几项。

880 第二十一章 基础解答 2

原题 设总体 ， 为 的简单随机样本，求下列统计量的分布： （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）。

解析 三问共用同一个分母块：项分母只用 ，前三问的分子只用 → 全部独立 ✓。

（Ⅰ） 分子 。按 的定义式：

故 。

（Ⅱ） 恰是 的”带符号平方根”：分子 ，

故 。

（Ⅲ） 分子换成了平方和：，自由度从 变成 ：

故 。

三问的设计意图： 这个系数为什么三次都一样

与 的**“除数”都是 **——前者因为方差是 ，后者因为自由度是 。 两个""来源完全不同，数值恰好相同，所以系数 通用。这是命题人故意埋的混淆点： 与 长得几乎一样，自由度却是 与 。

和的平方个自由度；平方的和项数个自由度

880 第二十一章 拓展解答 2

原题 设随机变量 相互独立且均服从 ，证明： 服从 分布。

解析 与前面各题的差别只有一处，但正是全节最值得学的一处：分子与分母共用了 。

记 ，。

第一步：证独立（本题唯一的难点）。

是同一组正态变量的线性组合，故 服从二维正态分布。而

二维正态下不相关 独立，故 与 独立。

第二步：标准化。 ，：

且 与 独立（由第一步）。

第三步：按定义式合成。

故 ，证毕。

不验独立性直接套定义式 = 白给

本题若跳过第一步，答案对但过程不成立，属于典型的”结论蒙对、步骤不给分”。 凡是分子分母共用了 的题，第一句话必须是算协方差。

1000 基础篇 第6章 1

原题 设 是取自正态总体 的简单随机样本，则 服从（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 本题的小机关是 ，必须先中心化。

；，而 ，与分子独立。选 A。

与 是同一个数

命题人把顺序写反只是为了让你多看一眼。绝对值里换号不影响任何事，但分子的 换成 也不影响答案——因为 分布关于原点对称。

1000 强化篇 第8章 10

原题 已知随机变量 ，且 的概率密度为 ，则 服从（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 先从密度里读出参数。二维正态在 时

对照指数：；；。

验证常数： ✓ 与题给一致。

指数里没有交叉项 → → 与 独立。于是

两者独立

选 D。

常数 是免费的验算

二维正态的归一化常数把 直接告诉你。读完指数得到 ，再看常数 ✓ 就能确认没读错。 本题 OCR 把指数压成了 (2-8)，正是靠这个常数才能还原出 、。

1000 强化篇 第8章 12

原题 设 是来自正态总体 的简单随机样本，记 ，，， ，证明统计量 服从自由度为 的 分布。

解析 设 。注意 用前 个样本， 与 用后 个——两组不相交，整体独立。

分子：，，独立，故

分母： 是后 个样本的样本方差（分母 ✓），由正态总体的抽样定理合成：

故 ，证毕。

"自由度 " 是提示，不是结论

后 个样本的样本方差只有 个自由度（丢了一个给 ）。题目把答案写成 ，就是在告诉你分母必须用后三个样本的 ，不能混进前六个。

拓展

880 第二十一章 拓展解答 1（OCR 残缺，已重构）

题源说明

源 PDF 缺书内页 106，本题题干与前两小问丢失，只剩第三小问 。 对照基础解答 2（ 时 、 恰好 项）可知它是基础解答 2 的一般化，据此重构如下。

原题（重构） 设 （）为总体 的简单随机样本，求下列统计量的分布： （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）。

解析 分母的项数是关键： 从 到 ，共 项，故（Ⅰ） 分子 ：（Ⅱ） 。

（Ⅲ） 分子 ：。

代 验算：，三个答案变成 、、，与基础解答 2 完全一致 ✓。

一般化之后才看清系数的来历

系数 里，分子 是分母块的自由度，分母 既是分子块的方差因子（第Ⅰ、Ⅱ问）又是分子块的自由度（第Ⅲ问）。 在 的特例里这两个 被 掩盖了，一般化之后才分得清。

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