正态总体的三大检验

🏠 数理统计概念导航 · 数理统计题库

方法模板

一、检验统计量速查表（单个正态总体）

检验对象	条件	统计量	分布
	已知
	未知
	未知
	已知

二、拒绝域：三种备择对应三种形状

设显著性水平为 ，以 检验为例（、 同理换分位数）：

检验没有对称性，右侧用 ，左侧用 ，双侧两头都要查。

三、五步答题模板（解答题按这个写，不丢步骤分）

第⑤步必须写中文结论（“认为…”/“不能认为…”），只写”拒绝 “是不完整的。

四、题目给了哪个分位数，就是在告诉你考哪个检验

这是考场上最快的定位方式：先看题目末尾给了什么数，再倒推该用哪个检验。

必考

880 第二十三章 基础填空

原题 设总体 ， 为 的简单随机样本，其中 未知， ，，则假设 的 检验统计量 ＿＿＿。

解析 未知 → 用 检验，模板是

关键换算：题目给的是 （没除以任何东西），而 ，故代入：

、、 三个量必须分清

题目故意用 这个不带分母的记号，就是要看你会不会补上 。

一个免费的验算： 的表达式里必须同时出现 （来自 的标准化）与 （来自 ）， 合起来是 ；只出现一个就是漏了一步。

880 第二十三章 基础解答 1

原题 设在一批圆木中随机抽取 根，测其小头直径，得到样本均值为 ，已知标准差 ，问在显著性检验水平 下，该批圆木小头平均直径能否认为是在 以上？（已知 ）

解析 题目给 → 单侧 检验（ 已知）。

① 提出假设。 要确认的是”平均直径在 以上”，把它放 ：② 统计量。 已知，：

③ 拒绝域。 指向右，：④ 代数据。⑤ 结论。 ，观测值远远落在拒绝域之外，不能拒绝 ：

换一种建假设方式，结论完全相同

若取 、（左侧检验），拒绝域为 ， 而 落入拒绝域 → 拒绝 → 同样得出”不能认为在 12 以上”， 而且这个方向的证据更强（甚至可以说”有充分理由认为平均直径低于 ”）。

考场上先看 与 的大小关系，结论的方向立刻就定了，算 只是为了给出”显著与否”的量化理由。 这里 远超 ，是高度显著的。

880 第二十三章 基础解答 2

原题 设某生产线生产袋装产品，正常情况下每袋 ，标准差不超过 ，且每袋重量服从正态分布。现检查机器生产情况，从中任取 袋，测得其均值为 ，样本均方差为 ，在显著性水平 下，问机器生产是否正常？（已知 ）

解析 题目给的是 （）→ 检验方差，右侧。

① 提出假设。 “标准差不超过 “是正常状态，要检验它有没有被破坏：② 统计量。 未知（用 估计），：

③ 拒绝域。 指向右：④ 代数据。 ，：⑤ 结论。 ，落入拒绝域，拒绝 ：

为什么不检验均值

题目虽然给了 （与标称的 差 ），但只给了 的分位数。 若要检验 ， 未知就得用 检验、查 ——题目没给这个数。

而且从量级看： 是标称标准差 的两倍， 是 倍，这才是问题所在。 均值只差 （不到 的三分之一），根本不显著。 本题的答案是”机器不正常”，但不正常在”波动太大”而不是”分量不足”。

计算上的小提醒： 直接约分成 ，不必真的算 。

链接

• 概念：正态总体的检验统计量 · 假设检验的框架与两类错误 · 正态总体的抽样分布定理 · 分位数与临界值
• 上一节：两类错误概率的计算
• 相关：区间估计（“置信区间不含 ""拒绝 ”）· 有效性与最优加权（ 的来历）
• 本章开端：从正态样本拼出 χ²、t、F（这里用的三个分布就是那里造出来的）
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单