离散总体的计数似然

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方法模板

一、离散总体的似然：把相同取值合并成幂次

其中 是样本里取值为 的个数，。

题目若直接给了 ，那就是在提示你用这个写法；若给的是具体样本值（如 ），先自己数。

二、三步流水线

三、最常见的两种结构与它们的现成答案

结构 A：

结构 B：

验算 A 的用法：把每个 写成 与 的幂之积， 则 ，。

四、二项型分布律的识别

一旦认出来， 直接可用，矩估计一行写完，无偏性也一眼可见。

五、“参数是比值”的题：先估概率，再换算

若参数 通过 进入模型，则由最大似然的不变性（见那一节）：

必考

880 第二十二章 基础解答 1

原题 设总体 的概率分布为

已知容量为 的样本值为 ，求 的矩估计值和最大似然估计值。

解析 先认分布：三个概率是 的展开，且 取 ——（直接算也一样：， 项恰好抵消。）

矩估计：，令 ：

最大似然：数个数——取值 有两个，取值 有一个：

套结构 A（，）：

两个估计值相同，都是 。

结构 A 的口算

的总幂次： 出现两次每次贡献 ， 出现一次贡献 → ； 的总幂次：只有取值 贡献 → 。

一行出答案，连 都不用写（考场上仍要写过程，但可以先把答案定下来再倒着写）。

880 第二十二章 基础解答 6

原题 某射手进行独立重复射击，每次击中目标的概率为 ，设他在第 次射击时首次击中目标，以 为总体， 为 的简单随机样本。求： （Ⅰ） 的概率分布；（Ⅱ）参数 的矩估计量和最大似然估计量。

解析

（Ⅰ） “首次成功发生在第 次” 前 次全失败、第 次成功：

（Ⅱ） （几何分布的期望，见 常见离散型分布）。

矩估计：令 ：

最大似然：套结构 A（把 看作 ）：，：

"总成功次数 ÷ 总试验次数"——最大似然从不违背常识

打了 枪，中了 次（每组恰好中 次），命中率的自然估计就是 。 凡是伯努利型的模型，MLE 永远是”成功数 ÷ 试验数”，几何、二项、负二项无一例外。 这条可以当作所有此类题的答案预判。

1000 强化篇 第9章 17（OCR 残缺，已重构）

题源说明

原 OCR 丢失了题号行与”设总体 的概率分布为”这一句，只留下分布律表格与后文。按表格内容重构如下。

原题（重构） 设总体 的概率分布为

是未知参数，又设 是 的简单随机样本， 是一组样本观测值。 (1) 求参数 的矩估计量和最大似然估计量；(2) 验证相应两个估计量的无偏性。

解析 ，。

(1) 矩估计：令 ，一步到位：。

最大似然：记 样本里 的个数：套结构 A（，）：

(2) 两者是同一个统计量 ：

0-1 分布是全章的"零号模型"

它的矩估计、最大似然、无偏估计全部是同一个 ，没有任何分歧。 凡是遇到复杂的离散题，先把它退化到 0-1 分布检验自己的方法对不对。

顺带：，在 时最大——这也是民意调查取 算最坏情形样本量的原因 （与 反解样本容量 呼应）。

1000 基础篇 第6章 9

原题 设某个试验有三种可能结果，其发生的概率分别为 ，，，其中参数 未知，。现做了 次独立重复试验，观测到三种结果发生的次数分别为 （），则 的最大似然估计值为 ＿＿＿。

解析 题目已经把 数好了，直接写似然：

数幂次（结构 A）：

这个模型有个漂亮的解释

三个概率恰是 的展开——每次试验其实是抛两枚”成功概率 “的硬币： 结果 1 两次都成功，结果 2 两次都失败，结果 3 恰一次成功。

于是 次试验一共抛了 枚硬币，成功总数 。

又是”成功数 ÷ 试验数”，一眼可写，一秒验算。

（遗传学里这就是哈迪—温伯格模型：、、 三种基因型， 是等位基因 的频率。）

1000 基础篇 第6章 20

原题 设总体 的概率分布为

其中 ， 为来自总体 的简单随机样本。求 的最大似然估计量，并判定它是否为 的无偏估计量，说明理由。

解析 认分布：四个概率是 的展开，且 ，故

最大似然：记 为取值 的个数。 的总幂次 的总幂次 ，套结构 A：

无偏性：

认出 之后，两问都变成一行

是 的线性函数，而 对 无偏 → 线性函数保持无偏。

对比 边界型 的 ——那种非线性统计量才需要真的去算分布。

1000 强化篇 第9章 19

原题 设总体 ，其中 已知， 未知，设 是来自总体 的简单随机样本，取到 的个数为 ，取到 的个数为 ，取到 的个数为 ，即 。 (1) 求 的矩估计量 和最大似然估计量 ； (2) 求 和 的数学期望； (3) 求 和 的方差。

解析

(1) 矩估计

令 ：

最大似然

套结构 B（，，，）：

(2) 期望 记 ，即”取值不为 “的次数。由

(3) 方差

比较：两式只差第一项的系数，，故

为什么 MLE 在这里更有效：它扔掉了没用的信息

用 ，把 与 当成不同的观测（一个记 分、一个记 分）。 但从分布律看， 与 都正比于 ——区分它们对估计 毫无帮助，反而引入额外波动。

只数”是不是 ”（），把 与 合并。信息压缩得恰到好处，方差就更小。

这和 矩估计那一节 的 1000 强化 18 是同一个现象： 那道题里 在 MLE 中消失，这道题里 与 在 MLE 中合并。

拓展

1000 强化篇 第9章 2

原题 设袋中红球数与黑球数之比为 ，且无其他颜色的球，现有放回地抽取 次，每次取一球，共取出 个红球，则 的最大似然估计值为（　）。 (A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析 设红球比例为 。由”红 : 黑 “：先估 ：有放回抽取 次得 个红球，这是 ，最大似然给出（套结构 A：，，，。）

再由不变性换算： 关于 单调，反解 ，故

选 D。

"比值"型参数一律走"先估概率、再换算"

直接对 写似然也行：， ， ✓ 结果相同。

但换算法更快、更不容易错，而且它是不变性最直白的用法。

选项 C（）是把 当成 的人准备的——“比例”与”比值”差一个 ， 这是本题唯一的考点。

链接

• 概念：最大似然估计 · 最大似然的不变性 · 常见离散型分布 · 伯努利试验与二项模型
• 上一节：均匀分布族与极值统计量
• 下一节：最大似然的不变性
• 相关：无偏性 · 有效性与最优加权 · 矩估计与一阶矩失效
• 题库：数理统计题库 · 易错：易错清单