考研笔记

最大似然的不变性：估计参数的函数

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方法模板

一、不变性原理（考研只考这一句）

是的最大似然估计是的最大似然估计

对任何函数 都成立，不要求 单调、可导，甚至不要求连续。

用法极其机械：

①先求②把换成代进，写完

二、题型识别：题目问的不是 本身

看到下面这些提法，就是在考不变性：

  • 求 、、 的最大似然估计；
  • 求 、、某个”性能指标 “的最大似然估计；
  • 参数以 、、、 的形式出现。

三、最重要的警告：不变性只对最大似然成立

无偏性没有不变性：

反例俯拾皆是： 是 的无偏估计，但 不是 的无偏估计（）； 无偏但 不无偏。

最大似然可以随便套函数，无偏不行这是两者最本质的分工

四、反向用法：先换元，再换回来

参数以复杂形式出现时，给那个整体起个名字，求它的 MLE，再由不变性变回去：

题目里的参数形式换元换回

这一招在标准流程与均匀分布族里已经用过多次，本节把它的依据补齐。

必考

880 第二十二章 基础解答 13

原题 设总体 服从参数为 的泊松分布， 是总体 的样本， 是样本均值， 是样本方差。 （Ⅰ）对任意实数 ，证明：统计量 是参数 的无偏估计； （Ⅱ）求概率 的最大似然估计量。

解析 泊松分布的招牌性质： ——期望与方差是同一个数。

（Ⅰ） 对任意总体（只要期望方差存在）都有两个统计量都无偏估计同一个 （这是泊松独有的）。于是对任意实数 成立，证毕。

（Ⅱ） 先求 的 MLE：

再套不变性。因为

第（Ⅰ）问是一个"无偏估计不唯一"的漂亮反例

一整条直线上的 全都无偏（ 取任何实数）。所以”无偏”根本不足以选出一个估计量。 真正的选择标准是方差最小——可以证明这里最优的是 （即 ），因为 而 大得多。

无偏是入场券，有效性才是排名

见 有效性与最优加权。

另注第（Ⅱ）问： 不是 的无偏估计（不变性只保 MLE 不保无偏）。

1000 强化篇 第9章 4

原题 设总体 服从参数为 （ 未知）的泊松分布， 是来自总体 的一个简单随机样本，则 的最大似然估计量为 ＿＿＿。

解析 与上题第（Ⅱ）问同源，只是问的是补事件：

两道题合起来是一次完整的对照

880 问 得 ，1000 问 得 。 两个答案相加为 ✓ —— 这是不变性的一个副产品：

（同一个代入，线性关系自动保持）

顺带提醒： 与 都不是无偏的。 的无偏估计是个很反直觉的 ，见 无偏性 那一节。

1000 强化篇 第9章 5

原题 设总体 的概率密度为 其他 其中 （）是未知参数， 是来自总体 的简单随机样本， 记 ，，， 则 的最大似然估计量 为 ＿＿＿。

解析 三步。

① 定 （归一化）：

故 ，。

② 求 ：

约束

关于 严格递减 → 取左端点（边界型）：③ 把 写成 的函数，再套不变性：

（积分上限合法： ✓，这正是题设写 的原因。）

题目给出 是干扰项

密度的支撑是 ， 只管上界，所以只有 有用。 题面同时给 和 时，先问”参数管哪一端”。

三步里每一步都是一个独立考点：归一化定常数 → 边界型 MLE → 不变性换算。 本题把它们串成一条链，是本节最完整的一道。

1000 基础篇 第6章 15

原题 设某元件的使用寿命 的分布函数 满足微分方程 ，， 为大于 的常数，； 且该元件性能 。 任取 个此种元件做寿命试验，测得值分别为 。 (1) 求 的最大似然估计值 ；(2) 求该元件性能 的最大似然估计值 。

解析 第一步是解微分方程——这是高数与概率的一次接口。

令 （生存函数），则 ，方程化为

由 得 ，故 ：

（这是瑞利分布，与 标准流程 里 1000 强化 12 同族。）

(1) 记 ：

由不变性（）：

(2) 是 的函数，直接代：

第 (2) 问只值一分钟，别被 的复杂样子吓住

写得再丑，也只是一个函数。不变性说”把 代进去”，句号。 不需要对 求导，不需要检验单调性，不需要讨论。

命题人把 设计得这么怪，正是要看你会不会多此一举地去优化 。

第 (1) 问的换元 同样是不变性：先求 （似然方程干净），再开根号。 若直接对 求导：，也能得同样结果，但多两个 容易错。

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