考研笔记

第19章 随机变量的数字特征 题库

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题源：李林 880 第十九章（44 题）+ 张宇 1000 题基础篇第 4 章（21 题）+ 强化篇第 6 章（20 题），池 85 题，全部收录（100%），写成 85 个块锚点。必考 74 / 拓展 11。

这是全书最大的一章（超过第18章的 67 题）。它也是概率论里”性价比”最高的一章——几乎不引入新对象，只是把前三章的分布压缩成几个数，但这些数会一路用到第23章。

重心分布：第十一节次序统计量（8 题）、第十二节离散联合反推（8 题）是两个大头；第六到第九节合计 20 题全部围绕”协方差与相关系数”，是本章绝对的核心地带。

全章只有两条铁律：

  1. 期望永远线性，方差要看相关性—— 无条件成立， 需要不相关；
  2. 只量直线——不相关推不出独立，除非是二维正态或 表。

配合 易错清单 52 条 一起看。

一、一维期望的计算：LOTUS 与级数/积分技巧

→ 题型笔记　·　LOTUS 不求分布；三个模板级数；；概率积分变换

必考

  • 880 第十九章基础选择：1
  • 1000 基础第4章：1、6、7
  • 1000 强化第6章：2

拓展

  • 1000 基础第4章：4
  • 1000 强化第6章：3

二、认出分布：配方、参数反解与方差的定性比较

→ 题型笔记　·　配方 ；；密度图比方差

必考

  • 880 第十九章基础选择：2、3、8
  • 880 第十九章基础填空：2
  • 880 第十九章综合填空：1
  • 880 第十九章综合解答：8
  • 1000 基础第4章：3、9
  • 1000 强化第6章：4

三、指示变量法：把和拆开求期望

→ 题型笔记　·　；期望可加不要独立；超几何

必考

  • 880 第十九章基础填空：1
  • 880 第十九章综合选择：6
  • 880 第十九章综合填空：4
  • 1000 基础第4章：5
  • 1000 强化第6章：1、7

四、条件期望与全期望公式

→ 题型笔记　·　塔性质 ；；指数截断期望

必考

  • 880 第十九章基础填空：3
  • 1000 基础第4章：11
  • 1000 强化第6章：6、13、20、21

拓展

  • 1000 强化第6章：12

五、截断与混合型的期望

→ 题型笔记　·　混合按权重加；尾积分 ；柯西的截断

必考

  • 880 第十九章基础填空：4
  • 880 第十九章综合填空：3
  • 1000 基础第4章：2

拓展

  • 1000 强化第6章：10

六、协方差与相关系数的计算：双线性展开

→ 题型笔记　·　像多项式乘法展开；； 无量纲

必考

  • 880 第十九章基础填空：5
  • 880 第十九章基础解答：2
  • 880 第十九章综合填空：5
  • 880 第十九章综合解答：2
  • 1000 基础第4章：19

拓展

  • 1000 基础第4章：17

七、 的线性不变性与

→ 题型笔记　·　； 退化成直线

必考

  • 880 第十九章基础选择：6、7
  • 880 第十九章综合选择：3
  • 1000 基础第4章：18

八、不相关的等价刻画：方差可加

→ 题型笔记　·　六个等价说法；极化恒等式；和差不相关

必考

  • 880 第十九章基础选择：4
  • 880 第十九章综合选择：1、5
  • 1000 基础第4章：13、16

九、不相关但不独立的反例谱

→ 题型笔记　·　独立性的保持性；支撑集一票否决；四个必背反例

必考

  • 880 第十九章基础选择：5
  • 880 第十九章综合选择：2、4
  • 1000 强化第6章：15、16

十、绝对值的数字特征：对称化

→ 题型笔记　·　；；对称中心处不相关

必考

  • 880 第十九章基础解答：3、4、5
  • 1000 基础第4章：10、14
  • 1000 强化第6章：19

十一、次序统计量的数字特征

→ 题型笔记　·　；；Rényi 分解

必考

  • 880 第十九章综合填空：2
  • 880 第十九章综合解答：1、4、5
  • 1000 基础第4章：8
  • 1000 强化第6章：5、18

拓展

  • 1000 强化第6章：17

十二、离散型：由数字特征反推联合分布

→ 题型笔记　·　；逻辑零格；多项分布

必考

  • 880 第十九章基础解答：1
  • 880 第十九章综合解答：3
  • 1000 基础第4章：20
  • 1000 强化第6章：11

拓展

  • 880 第十九章综合解答：6
  • 880 第十九章拓展解答：1、2
  • 1000 基础第4章：12

十三、混合型与乘积变换下的相关性

→ 题型笔记　·　；随机符号引理；两两独立 相互独立

必考

  • 880 第十九章综合解答：7、9
  • 1000 基础第4章：15

拓展

  • 1000 基础第4章：21

十四、二维连续型的数字特征

→ 题型笔记　·　能拆就拆； 独立公式；三角形均匀的完整档案

必考

  • 880 第十九章基础填空：6
  • 880 第十九章基础解答：6
  • 880 第十九章综合填空：6
  • 880 第十九章综合解答：10
  • 1000 强化第6章：8、14

收录统计

  • 池 85 题 = 880 第十九章 44（基础选择 8 + 基础填空 6 + 基础解答 6 + 综合选择 6 + 综合填空 6 + 综合解答 10 + 拓展解答 2）+ 1000 基础第4章 21 + 1000 强化第6章 20
  • 全部收录，收录率 100%%，块锚点 85 个，必考 74 / 拓展 11
  • 题源说明：1000 强化第 6 章原书编号为 1–8、10–21（OCR 源缺第 9 题），实际 20 题，已按实际编号建立锚点

同章成对与跨章对应

同章成对（连着做，一次记住两道）

  1. 同一个 —— 1000 基础 9 让你解出 ；880 综合解答 8 直接把 端给你问别的。一正一反。
  2. 同一个柯西截断 —— 880 综合填空 3 给密度 ，1000 强化 10 给分布函数 并多考一步定 。答案都是 。
  3. 完全同题 —— 880 综合解答 3 与 1000 基础 12 是同一道三项分布，880 多要一张联合分布律。。
  4. 半正态公式的两半 —— 880 基础解答 3 问 ，1000 基础 10 问 ，两本书都把方差配成 让差恰好是 。
  5. 极差公式的一般与特殊 —— 880 综合解答 1 求一般 的 ，1000 基础 8 求 的完整分布（答案 ）。互为验算。
  6. 同一对原料 —— 880 综合解答 6 做指示变量（），880 拓展解答 1 做线性组合（）。同样的原料，变换方式决定相依结构。
  7. 两道”不相关反解参数” —— 880 基础填空 5（二维正态解 ）与 1000 基础 14（均匀分布解 ），一个靠展开、一个靠对称性。
  8. 两道 的等价刻画 —— 880 综合选择 1 给""问推论，1000 基础 13 给”方差可加”问它是什么条件。等价链上任意两点都能互相出题。
  9. 拉普拉斯分布的两副面孔 —— 880 基础解答 4 给你 问性质，1000 基础 21 让你用”零均值随机符号 指数”把它造出来。

跨章对应（第19章的每一招都有来处）

  • 第16章全概率公式 → 本章全期望公式（把概率换成期望，其余一字不改）
  • 第16章容斥原理 → 本章指示变量（ 取期望即得容斥）
  • 第17章概率积分变换 → 1000 基础 6（ 秒杀）、1000 强化 17（）
  • 第17章无记忆性 → 880 基础填空 6、1000 强化 13、1000 基础 2（ 的推导）
  • 第17章非单调函数求分布 → 1000 强化 21 的 换元要两支相加
  • 第18章条件分布 → 本章条件期望的全部原料
  • 第18章 max/min 分布 → 本章第十一节的全部前置；Rényi 分解在 1000 强化 18 里把 变成三行
  • 第18章全集分解法 → 880 综合解答 7、880 综合解答 9、1000 基础 21（本章仍然高频）
  • 第18章随机符号引理 → 880 综合解答 9（ 偏斜也不影响 ）
  • 第18章三角形均匀分布 → 1000 强化 14 是它的第四次登场（前三次全在第18章）
  • 第18章”边缘不能决定联合” → 本章的回响是”协方差也不能决定联合”
  • 线代第15章二次型 → ， 半正定； 就是二阶主子式非负
  • 线代第14章正交对角化 → 1000 基础 17 求 就是给等高椭圆找主轴，公式与二次型消交叉项完全同型
  • 高数定积分的形心 → 是重心公式； 是转动惯量， 对应平行轴定理

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