考研笔记

第18章 多维随机变量及其分布 题库

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题源：李林 880 第十八章（34 题）+ 张宇 1000 题基础篇第 3 章（14 题）+ 强化篇第 4 章（7 题）+ 强化篇第 5 章（12 题），池 67 题，全部收录（100%），写成 67 个块锚点。必考 54 / 拓展 13。

这是全书最大的一章，也是概率论真正的分水岭——前两章处理”一个随机变量”，本章开始处理”它们怎么配合”。

重心分布：第八节 max/min（9 题）与第十一节几何概型/线性变换（7 题）是两个大头；第六、七节合计 10 题全是”全集分解法”，这一招在本章出现频率最高，务必练到条件反射。

全章只有一条铁律：边缘不能决定联合。每道题都要先确认独立性——它不是废话，是把二维降回一维的唯一入口。配合 易错清单 50 条（全 vault 最多）一起看。

一、联合分布函数与联合分布律

→ 题型笔记　·　 的四象限翻译；矩形不等式；分区域求 ； 表的 判据

必考

  • 880 第十八章基础选择：1
  • 880 第十八章基础填空：1
  • 880 第十八章基础解答：1、5

拓展

  • 1000 基础第3章：11

二、边缘分布与条件分布

→ 题型笔记　·　分子联合、分母边缘； 与 两条路；二维正态反求五参数

必考

  • 880 第十八章基础解答：2
  • 1000 基础第3章：8
  • 1000 强化第5章：6

拓展

  • 1000 基础第3章：10
  • 1000 强化第4章：5

三、独立性的判定与反例

→ 题型笔记　·　分离 矩形；支撑集一票否决；三个必背反例

必考

  • 880 第十八章基础选择：3
  • 880 第十八章基础解答：3、10

拓展

  • 880 第十八章拓展解答：2
  • 1000 强化第5章：7

四、离散型二维分布：比较与求和

→ 题型笔记　·　对称化三分法；；几何分布的

必考

  • 880 第十八章综合选择：1
  • 1000 基础第3章：1、5、6
  • 1000 强化第4章：1

五、和的分布：卷积公式

→ 题型笔记　·　定限是全部难点；可加性表；双指数差与均匀差商两条通式

必考

  • 880 第十八章基础解答：8
  • 880 第十八章综合解答：7
  • 1000 基础第3章：14
  • 1000 强化第5章：12

六、全集分解法：离散与连续的混合

→ 题型笔记　·　按离散取值分段； 就地换成常数；退化分支造原子

必考

  • 880 第十八章基础解答：11
  • 1000 基础第3章：2、3、13
  • 1000 强化第4章：2

拓展

  • 880 第十八章拓展解答：1

七、随机符号与混合型的制造

→ 题型笔记　·　随机符号引理 ；跳高 退化分支的概率

必考

  • 880 第十八章综合选择：5
  • 1000 强化第5章：2、10

拓展

  • 1000 强化第5章：11

八、max 与 min 的分布

→ 题型笔记　·　max 配 、min 配 ； 的 相加；Rényi 分解；泊松稀释

必考

  • 880 第十八章基础填空：2、3
  • 880 第十八章综合填空：1
  • 880 第十八章综合解答：3
  • 1000 基础第3章：9
  • 1000 强化第5章：3、5

拓展

  • 1000 强化第4章：7
  • 1000 强化第5章：8

九、正态的线性组合与二维正态

→ 题型笔记　·　中位数在均值处；半正态与 ；对称阈值消

必考

  • 880 第十八章基础选择：2
  • 880 第十八章综合选择：3、4
  • 880 第十八章综合填空：2
  • 880 第十八章综合解答：4
  • 1000 基础第3章：7

十、积与商的分布

→ 题型笔记　·　积除以、商乘以；双曲线带出 ；柯西分布；

必考

  • 880 第十八章基础解答：6、9
  • 1000 强化第5章：1

拓展

  • 1000 基础第3章：12
  • 1000 强化第5章：4

十一、二维几何概型与线性变换

→ 题型笔记　·　判别式化区域；二次型正定的概率；雅可比；菱形变正方形

必考

  • 880 第十八章基础解答：7
  • 880 第十八章综合选择：2
  • 880 第十八章综合填空：3
  • 880 第十八章综合解答：1
  • 1000 强化第4章：3、4

拓展

  • 1000 强化第5章：9

十二、连续型的离散化：指示变量

→ 题型笔记　·　蕴含关系造零格；圆盘用极角； 表的 系数

必考

  • 880 第十八章基础解答：4
  • 880 第十八章综合解答：2、5、6
  • 1000 基础第3章：4

拓展

  • 1000 强化第4章：6

跨题成对：本章内部（12 组）

做完一道，另一道就是送分题。按重要性排序：

1. 三题同密度（乘法公式三视图）★★★

880 基础解答 2、1000 基础 3-10、1000 强化 5-6 描述的是同一个二维均匀分布（三角形 ，顶点 ）：

题给什么求什么
880 基础解答 2联合 边缘、条件
1000 基础 3-10”三角形上均匀”边缘、条件、两种条件概率
1000 强化 5-6边缘 + 条件 联合，再作变换

记住这一整套结论：（斜坡）、（帐篷）、两个条件分布都均匀。看到""直接调用。

2. 完全同题： 在 上 ★★★

880 基础解答 9 与 1000 基础 3-12 一字不差，只是 880 多问了一个分布函数。答案 。

两本书正好用来对比两种解法：要 走几何法，只要 直接套积的公式（三行完事）。

3. 判别式题：两本书把参数配成了同一个被积函数 ★★★

  • 880 基础解答 7：判别式 → ，配 →
  • 1000 强化 4-4：判别式 → ，配 →

不约而同地把指数参数与判别式系数配平，就为了让 露面。区别只在积分上限（ 与 ）和外层系数（后者多一个 ，来自 的密度）。

4. 三连：通式、骨架、特例 ★★

  • 880 综合选择 1：几何分布通式
  • 1000 基础 3-6：脱去具体分布的骨架
  • 1000 强化 4-1：特例 ，答案

三题互为验算：通式代 得 ✓。且 时三分恰好均分（）。

5. 同一个卷积 ★★

880 综合解答 7（， 由概率积分变换造出）与 1000 基础 3-14（，直接给）。通式：

880 那道多的那层壳（三角形密度 + ）只是把 藏起来。

6. 三角形支撑：斜线上方 vs 下方 ★★

  • 880 基础解答 5： 于 （上方）→
  • 880 拓展解答 2： 于 （下方）→

两题都是”三角形支撑 + 一个边缘恰好是标准分布 + 必不独立”。后者的密度里根本不含 ，仍然不独立——本章最好的反例。

7. 右上角公式：定理版与数值版 ★★

880 基础选择 1 给公式，880 基础填空 3 给数值（ 与 互相决定）。后者根本不需要独立性假设，按容斥走更稳。

8. 乘积型不等式的两级台阶 ★★

  • 1000 强化 5-5：一个因子符号确定（），直接约掉
  • 1000 强化 5-8：，先因式分解，再按符号组合分两支

“四项凑因式”是命题人的固定手法，看到就该条件反射。

9. 同一个混合型公式 ★★

1000 基础 3-2（问 ）与 880 综合选择 5（问 在 处的左右极限 ）是同一个公式的两种问法。跳高恒等于 系数。

10. 菱形两次出现，结论相反 ★

  • 1000 强化 5-9： 把菱形变正方形， 独立
  • 1000 强化 4-6：把菱形上的点离散化成 变量， 相关

离散化会改变相依结构——原始的 与切出来的 是两回事。

11. 随机符号三连 ★

1000 强化 5-2（）、5-10（，系数含 造原子）、5-11（，证 且 非二维正态）。

同一个引理，三种难度：系数只有 → 分布不变；系数含 → 混合型；符号被锁死 → 联合不正态。

12. “整体对半” vs “逐片对半” ★

  • 1000 强化 5-6：每个切片 都对称 → 与 独立
  • 1000 强化 5-7：整体 ，但每片分法不同 → 与 不独立

这一对放在一起看，独立性的含义就清楚了。注意 5-7 的第（2）问答案直接决定第（3）问的解法——“前问是后问的许可证”在本章反复出现。

跨章成对：与第16、17章

旧知识本章的样子出现在
Ch-16 容斥 右上角公式、 组合、对称阈值消 880 基础选择 1、基础填空 3、综合填空 2、综合解答 4
Ch-16 四格表 （= 行列式） 表的独立判据、 系数880 基础解答 1、综合解答 2、1000 强化 4-6
Ch-16 全概率公式全集分解法（本章最高频的一招）、泊松稀释第六、七节全部 + 1000 强化 4-7
Ch-16 取半和 对称化三分法 第四节全部
Ch-16 折棒 单位区间两点距离 880 综合解答 1
Ch-17 概率积分变换 用自己的 才成立880 综合解答 7、1000 强化 5-4
Ch-17 无记忆性串联系统仍无记忆（ 对无记忆封闭），并联则不然1000 基础 3-9
Ch-17 方差 vs 标准差 之差恰是 1000 基础 3-7、880 综合选择 4
Ch-17 混合型与原子原子来源换成”退化分支”880 综合选择 5、1000 强化 5-10
Ch-17 递减变换翻不等号1000 强化 5-8
Ch-17 一维变换 + 雅可比二维变换 + 880 综合选择 2、1000 强化 5-9
线代 Ch-15 二次型正定二次型正定的概率1000 强化 4-3
线代 Ch-11 秩一矩阵独立 ⟺ 联合分布矩阵秩为 1880 基础解答 1
高数 Ch-14 二重积分求边缘、求 、求各种概率的全部计算工具全章

题源问题（3 处）

1. 1000 基础篇 3-14 的第（2）问 OCR 截断

原文只到”（1）求 的值;“。归一性给 （即 ），按本章体例补为”（2）求 的概率密度”——这是这组条件唯一自然的后续，且与 880 综合解答 7 恰好构成同一个卷积的一对。

2. 1000 强化篇 5-8 的 没写下标范围

按上一题（5-5 用 ，刻意排除第一个变量）的同款体例，取 是对 而言，不含 ——只有这样 才与 独立，第（2）问才能分解。若把 算进去，答案将是依赖 的复杂积分，不合考研体例。

3. 两处 OCR 字符噪声

1000 强化 5-1 的选项括号被识别成 “(1 - x)“，应为 ”( )“；880 综合解答 6 的题设里”观测值记为 “与后文的 混排。均不影响题意。

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