考研笔记

积与商的分布

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方法模板

一、两条公式（会推比会背重要）

系数的来历：对固定的 （或 ）做一维换元， 就是那个 或 。

记忆：积除以，商乘以——被”消掉”的那个变量，积时出现在分母、商时出现在分子。

二、推荐路线：分布函数法（尤其是均匀分布）

四步：

  1. 画支撑集 和曲线 （双曲线）或 （过原点的直线）；
  2. 看曲线把 割成什么样，分段；
  3. 每段算面积（均匀分布时 面积总面积，纯几何）；
  4. 对 求导得密度，再验归一性。

均匀分布 + 积/商 = 纯几何题

这时根本不用卷积公式，算面积就行。双曲线下的面积会带出 ，直线会带出多项式——看到答案里有 ，通常来自双曲线。

三、两个必须认识的结果

（1）柯西分布： 独立同服从 ，则

期望不存在（）。这是”两个好分布相除得到一个坏分布”的经典例子。

（2）指数分布的比例： 独立同服从 ，则

直觉：两段等待时间的占比是完全随机的。等价说法：（对称）。

注意区分：， 取值在 ——都不是 。

四、验算的三个抓手

  1. 取值范围： 的支撑集必须与 一致；
  2. 归一性：（分段的每一段都要算）；
  3. 分界点连续： 必须连续（除非真有原子）。

必考

880 第十八章基础解答 6

原题 设随机变量 与 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

其他

求 的分布函数和概率密度.

解析 先备料：

时 。（验证：， ✓）

都在 内取值，故 可取 内任意值。

用分布函数法（，不等式方向不变）：

关键分段： 非零要求 ，即 。而积分本来的下限是 ，两者谁大要看 与 的关系。

情形 ：，整个积分区间上 ：

情形 ：，下限抬到 ：

其他

三处验证：

  • 处： 与 ✓ 连续
  • ： ✓
  • 归一性： ✓

另解（商的密度公式，直接出密度）

积分下限取 （两个因子都要非零）：

  • ： ✓
  • ： ✓

两条路一致。

与 同分布——对称性验算

同分布且独立，故 。检验：

取 ： ✓ 完全吻合。 凡是”独立同分布之商”，都可以用这条对称性验算一半的答案。

这个 的期望是无穷大

。 它是 的帕累托分布（重尾）。第19章求数字特征时若碰到这种密度，先检查期望是否存在。

880 第十八章基础解答 9

原题 设 服从区域 上的均匀分布，求 的分布函数与概率密度.

解析 是 的矩形，面积 ，密度 。

的取值范围：（ 最大 、 最大 ）。

纯几何：对 ，面积，画双曲线 ：它与矩形上边 交于 （因 ，交点在矩形内），与右边 交于 。

分割：

  • ：整条竖线段（）都满足 ✓，贡献面积 ；
  • ：只有 的部分满足，贡献 。

求导（注意 的导数是 ）：

其他

三处验证：

  • ✓
  • 于 （因 ）✓， ✓，（可积的奇性）
  • 归一性（换元 ）：

从哪来：双曲线下的面积

——只要区域被 割过，答案里几乎一定有 。 反过来，如果你算出的积/商密度是纯多项式而区域又是矩形，多半漏了这一段。

1000 题强化篇第5章 1

原题 设 是来自标准正态总体 的简单随机样本，则 的概率密度 （　）.

A. 　B. 　C. 　D.

题源说明

OCR 把题干末尾的选项括号识别成了 “(1 - x)“，应为 ”( )“。不影响题意。

解析 这是柯西分布，结论应当直接记住：两个独立标准正态之商服从标准柯西分布，选 A。

推导（用商的公式，）：

（用了被积函数关于 是偶函数。）令 ，：

排除法（考场首选，两刀）

  • 第一刀：归一性。 C 的积分 ✗（少了 ）。D 的积分 ✓ 过关。
  • 第二刀：支撑集与符号。 B 在 处分母为零、且 时密度为负 ✗。
  • 第三刀：对称性 + 尾部。 D 是 的密度，尾部是 型（极薄）。但 的分母可以任意接近 ，使得商可以任意大，尾部必须很厚。 太薄 ✗。只剩 A。

柯西分布 没有期望

所以柯西分布不满足大数定律—— 个独立柯西的平均值还是同一个柯西分布，永远不收敛。 这是第20章大数定律”必须有期望”这个条件的唯一常考反例。

另一条要记的：……严格地说 ，而自由度为 1 的 分布就是柯西分布。第21章会再见到它。

拓展

1000 题基础篇第3章 12

原题 设二维随机变量 在矩形区域 上服从均匀分布，求 的概率密度.

解析 与 880 基础解答 9 完全是同一道题——区域、分布、所求变量一字不差，只是 880 那道多问了一个分布函数。

其他

另解（积的密度公式，跳过 ） 这次直接用公式验一遍：，被积函数非零要求 且 （即 ）。故对 ， 从 到 ：

这条路比几何法还短——因为 是常数，公式里只剩 要积。

两本书撞题，正好用来对比两种解法

  • 880 版（要分布函数）：几何法自然， 是主角；
  • 1000 版（只要密度）：直接套积的公式，三行完事。

考场判断：题目要 就走几何/分布函数法；只要 且密度是常数或简单可分离，就直接套公式。 两条路都要练熟——用另一条验算，是这类题唯一可靠的自查手段。

1000 题强化篇第5章 4

原题 设随机变量 独立同分布于 ，其中 ， 为 的分布函数，则与 同分布的是（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 第一步： 是什么？ 是 自己的分布函数， 连续，由概率积分变换：，第二步：找出哪个选项服从 。

先用取值范围砍掉三个：

选项取值范围判定
A. （因 ）超出 ✗
B. 无界 ✗
C. （因 ）无界 ✗
D. 唯一可能

选 D。

验证（把它算出来） 对 ：

记 ，用独立性对 分解：

代回 ：，正是 的分布函数 ✓

值得单独背下来

直觉：把 和 看成泊松过程里连续两段等待时间，第一段占总时长的比例是完全随机的——没有任何位置比别处更受偏爱。 更一般：， 独立 ，且与 独立。取 就是 。

注意 全程消失——比例不依赖时间尺度，这也是答案里不含 的原因。若你的答案带 ，一定错了。

A 是最容易误选的： 只差一个系数

它服从 ，不是 。命题人用”乘 2”和”取倒数”（选项 C）各造了一个诱饵。 对付这类题，“先看取值范围”永远是最省时的第一刀——本题四个选项里三个直接被范围砍掉。

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