二维几何概型与线性变换

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一、二维几何概型：把条件翻译成区域

全部难度在”把题目的条件翻译成 “，之后就是二重积分。

三种最常见的翻译：

题面	区域	形状
有实根	判别式	抛物线下方
二次型 正定	各阶顺序主子式	若干不等式的交
	以对角线为轴的带状	正方形去两角
	正方形去右上角小正方形	反 L 形

二、判别式型题目的三步

1. 写判别式： 有实根 ；
2. 化成 与 的关系（通常是 ）；
3. 对 分解（ 与 独立时）：

出现 就该想到

命题人常把指数分布的参数调好，让 里恰好冒出 ——答案必须用 表示，这是信号不是意外。

三、二次型正定 = 顺序主子式全正（线代接口）

读矩阵的规则： 的系数放对角线 ； 的系数对半分给 。

见线代 第15章 二次型。概率题里通常前两个顺序主子式是常数（自动满足），只有 含随机变量——它就是那个不等式。

四、二维线性变换：雅可比

两件事都不能漏：

1. 自变量换成反解式 （不是 ！）；
2. 前面乘 （面积的缩放因子）。

特例（伸缩）：：

五、 旋转：菱形 ↔ 正方形

（一行验证：，令 即得。）

所以在 下，菱形 变成正方形 ——一个相依的二维均匀分布被转成了两个独立的一维均匀分布。这是本章最漂亮的一个变换。

必考

880 第十八章基础解答 7

原题 设随机变量 和 相互独立， 在区间 内服从均匀分布， 的概率密度为

（Ⅰ）求 的联合概率密度；（Ⅱ）设 和 满足关于 的二次方程 ，求 有实根的概率.

解析 。

（Ⅰ） 独立，直接相乘：

（支撑集是半无界矩形 。）

（Ⅱ） 判别式：，对 分解（，）：

这个积分没有初等原函数，用 表示：

合理性检查： 的均值是 ，而 —— 通常远大于 ，所以概率应当很小。 合理 ✓

参数 是为了凑出 才这么设的

——指数上恰好是标准正态的形状。 如果 且 ，就会出现 ，需要先配成 再换元。 看到答案要用 表示，说明这一步走对了。

1000 题强化篇第4章 4

原题 设随机变量 在 上服从均匀分布， 服从参数为 的指数分布，且 相互独立，则关于 的方程 有实根的概率为 （答案用标准正态分布的分布函数 表示）.

解析 与上一题同一个模子，只换了系数和参数。

判别式：，（密度 ），（）：

两道题的参数被调成了 同一个被积函数

• 880：（判别式 ）→ ，配 →
• 1000：（判别式 ）→ ，配 →

两本书不约而同地把指数参数与判别式系数配平，就为了让标准正态露面。 区别只在积分上限（ 与 ）和外层系数，答案分别是 与 。 做完一道，另一道是送分题——但要留意外层那个 （来自 的密度 ），漏掉就错。

1000 题强化篇第4章 3

原题 设二维随机变量 的概率密度为 则二次型正定的概率为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 线代 × 概率的联动题，两边各走一半。

线代那一半：写出矩阵，算顺序主子式。

系数对号入座（交叉项系数对半分）：

（ → ； → ；没有 项 → 。）

前两个恒成立，全部信息在 ：

概率那一半：算面积。

于矩形 （面积 ，验证 ✓），即 、 独立。

区域 ：注意 时 ，抛物线始终在矩形内。

选 A。

验证：抛物线 在矩形内割出的下方区域面积 ，占比 ；上方占 ✓ 两者和为 1。

抛物线分割矩形的比例： 上、 下（顶点在底边中点、过两个上角时）

这是阿基米德抛物线面积定理的直接应用——抛物线弓形面积 = 外接矩形的 。 本题的 恰好从 经 到 ，正是这个标准配置。 记住这个比例，选择题可以不做积分直接选 A。

交叉项系数别忘了对半分

的系数是 ，所以 （不是 ）。 若误取 ， 会变成 ，答案就成了 型，完全不同。 见线代 第15章 二次型 的”矩阵与二次型的一一对应”。

880 第十八章综合填空 3

原题 设 ，向 上均匀地投掷随机点， 表示随机点的坐标，，则 .

解析 两个概率分别算，会发现它们相等。

第一个：取补更容易。 是正方形去掉中间带状后剩下的两个直角三角形，各自的直角边长 ：

第二个：同样取补。 是右上角的小正方形，边长 ：，两者完全相同：

这不是巧合，是"面积相等"的几何事实

两个补集虽然形状不同（两个三角形 vs 一个正方形），面积却都是 ：

• ：两个腰长 的等腰直角三角形，合起来 ；
• ：一个边长 的正方形，面积 。

两个三角形拼起来正好是那个正方形——把上三角形沿对角线翻折平移即可。 命题人设计这道题就是要看你算不算得对，还是被”看起来完全不同的两个事件”吓住。

考场策略：这类”求差”的填空题，答案常常是 。先各算各的，别急着找关系。

880 第十八章综合解答 1

原题 在区间 上随机地掷两点，求这两点间距离的概率密度.

解析 “随机掷两点” ⟹ 独立同服从 ，距离 ，取值 。

几何法（ 在单位正方形上均匀，面积 ）：对 ，，（用上一题的结论，。）

验证： ✓； ✓；（距离很小最常见），（两点恰好在两端极罕见）✓

另解（卷积） 是两个 之差，密度是三角形（“帐篷”）：，取绝对值（对称分布 ⟹ 密度加倍）：

：单位区间上随机两点的平均距离

这与第16章的折棒问题（）是同一个数，也与”三段中随机一段的期望长度 “呼应，见 古典概型与几何概型。 是这一族题的招牌数字。

880 第十八章综合选择 2

原题 设二维随机变量 的概率密度为 ，，则 的概率密度 （　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析 两件事都要做对，四个选项各错一件。

第一件：反解。 ，所以自变量必须是 ——A、C 用了 ，方向反了 ✗。

第二件：雅可比。

B 漏了 ✗。选 D。

验算（归一性，最可靠的自查）

其余三个选项的积分分别是 （A）、（B）、（C）——都不是 1，一验就死。

一维的记忆可以直接搬过来

时 ——自变量除以 ，前面也除以 。 二维就是”每个方向各除一次”，合起来除 。 口诀：伸缩多少倍，密度就压扁多少倍（拉长了，高度必须降低才能保持面积/体积为 1）。 见第17章 一维随机变量函数的分布。

拓展

1000 题强化篇第5章 9

原题 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，其中 . 令 . 求：

（1） 与 的概率密度 与 ；（2） 与 的协方差 和相关系数 .

解析 是对角线长 的正方形（顶点 ），面积，（1）做变换。 反解：，雅可比

新区域（这是全题的漂亮之处）：

所以 ——菱形被转成了正方形！

验证： ✓

密度可分离、支撑集是矩形 ⟹ 与 相互独立，且

即 独立同服从 。

（2） 因 ，直接有

另解（不用独立性，直接算，用于验算）

由 关于直线 对称， 与 同分布，故 ，得 ✓

（，两个方差都是 ，分母合法。）

这一题里"不相关" 恰好等价于"独立"，但这是算出来的，不是白给的

一般分布中 推不出独立（只有二维正态才有这个特权）。 本题是先证出 在正方形上均匀（从而独立），才顺带得到 。 顺序不能反：若只算出 就说独立，是错的。

反例就在本题的原始变量上： 与 在菱形上，由对称性 ，但 不独立（支撑集是菱形不是矩形！）。 同一道题里， 不相关但不独立、 不相关且独立——绝佳的对照。

旋转的一般意义

是旋转 再放大 倍。它把”菱形”变”正方形”，也把”正方形”变”菱形”。 在第19、21章里，同一个变换会以”正交变换保持独立正态性”的面目再出现——那正是线代 正交对角化 在概率里的用处。

链接

• 方法总纲：二维变换与雅可比 · 二维均匀分布与几何概型
• 同章：积与商的分布 · 边缘分布与条件分布 · 连续型的离散化
• 概念：随机变量的独立性 · 联合分布与边缘分布
• 旧知识：古典概型与几何概型 · 线代第15章 二次型 · 高数第14章 二重积分 · 一维随机变量函数的分布
• 下一章： 与 的完整理论在第19章
• 易错清单：第18章易错点
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