考研笔记

全集分解法：离散与连续的混合

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一、一句话：离散的那个只有几种可能，就按它分几段

离散（取值 ）， 连续，求 的分布。用第16章的全概率公式：

最后一步用了独立性：——把 就地换成常数 。

这一步是全章最常被默默用错的地方

只有 时才能”把 换成 后 的分布不变”。 不独立时要用条件分布 ，见 1000 强化 5-7 的第（3）问——那题就是靠”不独立”把这条路堵死的。

二、三个高频专用式

（1）（ 离散、 连续、独立）：

几何意义：把 的图像复制若干份，各自平移 ，按权重 叠加。所以

  • 的支撑集 = ；
  • 各份不重叠时， 在每段上就是 ，段与段之间可以跳（密度允许跳）。

（2）（ 离散）： 按 分段， 时 是伸缩， 时 制造一个原子。

（3）求概率而非分布：

三、原子从哪来：一张判定表

情形 的类型
每个分支 都连续，且没有分支退化成常数连续型（ 处处连续）
某个分支 （常数）混合型，在 处有原子，跳高

“离散 连续”通常不产生原子（ 型），但 “离散 连续”常常产生（ 型， 那支塌成 ）。见 随机符号与混合型的制造。

四、验算三件套

  1. 分段边界连续性： 在每个分界点左右极限相等（除非该处真有原子）；
  2. 两端：，；
  3. 权重和：所有 加起来是 1，密度各段积分之和也应是 1。

必考

1000 题基础篇第3章 3

原题 设随机变量 与 相互独立，且 服从二项分布 ， 服从指数分布 ，则 .

A. 　B. 　C. 　D.

解析 只有两种取值，直接分两段：， 的生存函数 ，且 ：

选 C。

排除法（更快） A 大于 1，直接出局。剩下三个用夹逼： 恒成立，故 那一支（概率 ）必然满足，所以答案 。B ，C ，D ✗。再注意答案还必须 （ 那支不全中），B 和 C 都满足……最后一步： 那支贡献 ，总计 → C。

" " 这一支是白送的分

很多人机械地写 ，其实一眼就该看出： 非负，加上 后必然 。 指数分布的生存函数 只在 时有效， 时是 ——套公式前先看符号。

1000 题基础篇第3章 2

原题 设随机变量 与 相互独立，且 ，，则 .

A. 　B. 　C. 　D.

解析 同样分两段，但这次是乘法， 那一支会塌掉：

选 D。

那支的概率是 ，不是

时 ，事件 必然发生。写成 就会错选 C。 不等号带不带等号，在这里决定了答案：若问 ，则 那支贡献 ，答案变成 （选 B）。

这是离散 连续会造出原子的直接后果： 在 处有一个高 的原子，所以 与 差了 。 完整的 见 880 综合选择 5。

1000 题强化篇第4章 2

原题 设随机变量 相互独立，且 ，，则 .

A. 　B. 　C. 　D.

解析 这次离散的是 ，按 分两段。注意 时不等式要变号：

，区间长 ：

选 B。

乘以负数 必须翻不等号

。写成 会得到 ——不在选项里，还好；但若命题人把这个错答案放进选项（本题的 D 就很接近这个陷阱的变体），就直接中招。 口诀：分段时先把不等式对每个分支单独化简，再查表求概率。

1000 题基础篇第3章 13

原题 设随机变量 与 相互独立，且 服从二项分布 ， 的概率密度为 其他 记 ，求：

（1）；（2） 的概率密度.

解析 先备料： 的分布律； 的分布函数 。

（1） （ 只取 ）。用独立性：

独立性让条件概率退化成"代入"

已知 后， 的分布完全不变，所以只需把 换成 再算 的普通概率。 这一步就是全集分解法的核心。条件里的 化简成 也别忘了——若 ， 就要分两支加权。

（2） 用叠加式：

的支撑集是 ，平移后三段 恰好首尾相接、互不重叠，所以每段只有一项存活：

其他

验证：

（三段的积分恰好就是三个权重 ——这是最快的验算：不重叠时，第 段的面积必然等于 。）

在 处跳跃，这是对的

时 ， 时 。密度允许间断（只有分布函数 必须连续）。 这里 确实连续： 由两侧都能算出。不要因为密度跳了就以为算错。

880 第十八章基础解答 11

原题 设随机变量 与 相互独立， 服从 的 - 分布， 的分布函数为

记 . 求：（Ⅰ）；（Ⅱ） 的分布函数.

解析 ，；，生存函数 。

（Ⅰ） 条件 后 ：

（Ⅱ） 分两支：

用统一写法 ，两个分支的转折点分别在 与 ，所以分三段：

  • ： 且 ，两支都用指数：
  • ：（第一支满分 ），：
  • ：两支都满分：。

验证：

  • ：； 代第二段： ✓
  • ： ✓
  • ： ✓

处处连续， 是连续型——虽然 离散，但 的连续性把每一支都抹匀了（没有分支退化成常数）。

减法记得把不等号翻过来

在 上是 ——是生存函数不是分布函数。 顺手记： 用 ， 用 。 本题若误用 ，会得到一个单调递减的”分布函数”，一眼就该看出不对。

拓展

880 第十八章拓展解答 1

原题 设随机变量 与 相互独立， 的概率密度为 其他 的分布函数为 ，令

求 的分布函数 .

解析 这题的分解变量是连续的（按 落在 还是 分两支），但思路完全一样：两个分支互斥且并为全空间。

第一支第二支

第一支：，直接拆开：，第二支：只涉及 自己（这是本题的关键——第二支里 ，与选择条件用的是同一个变量，不能拆成两个概率相乘）：

（用了 。）合并：

验证：

  • ：，得 ✓
  • ： ✓
  • ：两段都给 ✓；：两段都给 ✓
  • 单调不减： 不减， 递增 ✓

第二支 不能写成

那是把 当成”两个独立的 “了。同一个随机变量既当选择器又当取值，两个事件绝不独立。 检验：若真按错误写法， 时得 ——碰巧也对；但 时得 ，在 处等于 ，分段处直接断开，一验就露馅。

这就是为什么每次都要验分界点连续性。

结构解读： 是"一半 + 一半截断的均匀"

的分布 的分布的分布。 第二支之所以只贡献 （而不是 ），正是因为选择条件把 截断了。 一般化： 时，。

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