考研笔记

独立性的判定与反例

🏠 第18章概念导航 · 多维随机变量题库

方法模板

一、定义与三个等价形式

类型等价判据
一般
离散 对每一格
连续 几乎处处

二、连续型的实操判据：分离 + 矩形

且支撑集是矩形

（矩形可以无界，如 或整个 。）

两个条件缺一不可，这是本节全部考点的来源：

  • 只有分离、支撑集不是矩形 → 不独立（880 拓展解答 2 就是这个坑）；
  • 支撑集是矩形、式子不可分离 → 不独立（880 基础解答 10 是这个坑）。

验完分离后，两个因子各自归一化就是边缘密度——不用再积分：

三、一票否决：支撑集不是矩形 ⟹ 一定不独立

若独立，则 ，其非零区域是 ——两个一维集合的笛卡儿积，必是矩形。

所以只要看到支撑集是

  • 三角形（、、…）
  • 圆盘、椭圆
  • 任何” 的范围随 变”的区域

就可以一句话判定不独立，不必计算任何积分。这是考场上最省时的一招。

反过来不成立

支撑集是矩形不能推出独立——还要式子能分离。见 880 基础解答 10 的 反例。

四、必须记住的三个反例

反例说的是什么本节题目
两个边缘都是标准正态，但 不是二维正态、 与 不独立880 基础解答 10
在 密度表达式里根本不含 ，仍然不独立（支撑集出卖了它）880 拓展解答 2
两两同分布推不出联合同分布，更推不出和同分布880 基础选择 3

五、独立性的两条常用推论

  1. 传递到函数：（任意可测 ）。反之不成立——见 条件分布 里 但 的例子。
  2. 传递到事件： 任意 与 独立。这是把本章接回第16章 事件的独立性 的桥。

必考

880 第十八章基础选择 3

原题 设随机变量 与 同分布， 与 同分布，则（　）.

A. 与 同分布
B. 与 同分布
C. 与 同分布
D. 与 同分布， 与 同分布（常数 ）

解析 题设只给了两组边缘信息，完全没说 与 之间的关系。

D 正确： 与 的分布只由 各自的分布决定——

两边都只用到 的分布函数， 时结果自然相同。单变量的函数保持同分布，这是同分布定义的直接推论。

A、B、C 全错，一个反例通杀：取 ，令

  • （都是 ）✓
  • （ 与 都是 ）✓

但

  • ，而 （退化）→ A 错
  • ，而 → B 错
  • 全部落在直线 上， 全部落在 上 → C 错

选 D。

本章的第一条铁律： 边缘不能决定联合

知道 的分布 + 知道 的分布，得不到 的分布。缺的正是” 与 怎么配合”这一层信息。 只有补上”独立”这个假设，联合才被边缘唯一确定：。 这也是为什么几乎每道题都要先交代独立性——它不是废话，它是把二维问题降回一维的唯一入口。 同一件事在 880 综合选择 4、1000 强化 5-11 还会以”边缘正态 二维正态”的面目再出现两次。

880 第十八章基础解答 3

原题 设二维随机变量 的概率密度为

其他

求：（Ⅰ）常数 的值，并判别 与 是否相互独立，说明理由；（Ⅱ） 的概率密度 .

解析

（Ⅰ） 支撑集是第一象限（无界矩形），且被积函数天然分离：

于是

分离 + 矩形支撑集 ⟹ 与 相互独立，且 ，。

拆系数的技巧：让每个因子自己就是密度

不是巧合——，所以要配 才能归一。 拆完直接读出边缘，不必再做一次积分。

（Ⅱ） 独立，可用卷积公式。 时（ 时 ）：

（积分限来自 且 ）

验证： ✓； 时 ✓。

通式值得记： 两个不同参数的指数分布之和

， 独立，：

本题 ： ✓ 参数相等时这个公式失效（分母为 0），退化成 ：。 880 基础解答 8 会再考一次这个通式，见 和的分布。

880 第十八章基础解答 10

原题 设二维随机变量 的概率密度为

（Ⅰ）求 的值，并判别 与 是否相互独立；（Ⅱ）若 服从区间 上的均匀分布，且 与 相互独立，求 的概率密度.

解析 本章最重要的反例，务必吃透。

（Ⅰ）求 ：把括号拆开分别积。

（第一个是泊松积分 ；第二个的两个因子都是奇函数在对称区间上的积分，各自为 。）故

求边缘（同样靠奇偶性）：

同理

判独立：

（在 处右边是左边的 倍），故 与 不独立。

这是全章最该记住的一句话

两个边缘都是标准正态， 却不是二维正态， 与 也不独立。

它一次否掉三个常见误解：

  1. “边缘正态 联合正态” —— 错
  2. “边缘正态 + 支撑集是全平面 独立” —— 错（支撑集是矩形只是必要条件）
  3. ” 不独立 边缘长得奇怪” —— 错，边缘可以完美正常

因子 的作用：它是奇函数的乘积，积分时被对称性抹掉，所以不影响边缘；但它是 的耦合项，破坏了可分离性。 同类构造（“边缘正态但联合不正态”）在 1000 强化 5-11 会以另一种面貌出现，见 随机符号与混合型的制造。

（Ⅱ） 注意这一问换了搭档：现在是 （）与 （）独立，与 无关。用卷积：

换元 （，限从 到 翻回来）：

验证： ✓；

（交换积分次序，内层对 积分恒为 1。）

"均匀 任意"型卷积的通用形式

与任意 独立，则

均匀分布的卷积 = 对方分布函数的差商，就是”滑动窗口平均”。 本题 ： ✓，把公式套上即可，不必现推。 这个形状是把标准正态”抹开”成一个近似平顶的钟——正态与均匀的卷积没有初等闭式，答案里留 是正常的。

拓展

880 第十八章拓展解答 2

原题 设二维随机变量 的概率密度为

其他

（Ⅰ）证明： 服从参数为 的指数分布；（Ⅱ）问 与 是否相互独立？并说明理由.

解析 这个密度表达式里根本没有 ——正是命题人下的套。

（Ⅰ） 支撑集是 （第一象限里直线 下方的无界三角形）。求 画水平线 ， 从 扫到 ：

时 。这正是 的密度，故 ，证毕。

（Ⅱ） 顺手把 也求出来（画竖直线， 从 扫到 ）：

即 。

不独立，两个理由任选其一：

理由 1（一票否决，推荐） 支撑集 是三角形，不是任何形如 的矩形，而独立必然导致支撑集为矩形。故不独立。

理由 2（举一点） 取 ：该点不在支撑集内，；但

故 ，不独立。

"密度里不含 " 绝不是 "与 无关"

完整的密度是 ——指示函数里藏着 ，而且藏着 与 的耦合。 写密度时必须把支撑集条件当成表达式的一部分，这是本章最高频的失分点之一。

顺带看清这个分布的真身：，即 。 “，再在 上均匀地取一点”，得到的 恰好是 ——这个巧合就是本题的全部趣味。

与 880 基础解答 5 是一对

那题 在 （斜线上方），这题 在 （斜线下方）。 两题都是”三角形支撑 + 一个边缘恰好是标准分布”。 对照记：上方那题 ；下方这题 。

1000 题强化篇第5章 7

原题 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，令

（1）写出 的概率密度；（2） 与 是否相互独立？说明理由；（3）求 的分布函数 .

解析

（1） 是抛物线 与 围成的”叶片”，面积

其他

（2） 注意 时 ，所以直线 穿过整个叶片，把它一分为二（这也是本题成立的前提）。

（一半一半——事实上 关于直线 对称，因为 与 互为反函数。）

再看条件概率。，而

切片中的长度切片总长

这依赖 ：取 得 。

故 与 不相互独立。

更简洁的理由：取 充分接近 ，比值 （洛必达或同除 ），条件概率不是常数，故不独立。

对比上一节 与 独立的例子

那里每个切片都被 对半分（切片 关于 对称），所以条件概率恒为 ； 这里整体虽然也对半分（），但每个切片的分法不同——靠左的切片里 占比大，靠右的占比小。 “整体对半”不等于”逐片对半”，独立性要的是后者。这一对例子放在一起看，独立性的含义就清楚了。

（3） ，，故 。因 与 不独立，必须回到联合事件：

即即

：第二项要求 ，为 。第一项

（切片中 从 到 ，长度 。）

：第一项已取满 ；第二项

三处验证：

  • ：； 代第三段： ✓ 连续
  • ： ✓
  • ： ✓

处处连续， 是连续型——虽然 是离散的，但 的连续性把原子抹平了。

这里 不能写

那个公式要求 与 独立，而本题第（2）问刚证明了它们不独立。 命题人把（2）放在（3）前面，就是要看你有没有把结论用上去。 （2）问的答案直接决定（3）问的解法 —— 这种”前问是后问的许可证”结构在本章反复出现。

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