考研笔记

条件期望与全期望公式

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核心问题

“先……再……”这种两段式的随机过程，怎么求期望？

第16章用全概率公式处理”分情况讨论”的概率。到了本章，同样的思想升级成全期望公式：把期望也按条件拆开加权。它是处理”第二步的分布依赖第一步的结果”这类问题的唯一入口。

核心定义 / 定理 / 结论

一、条件期望

离散连续

原料就是第18章的条件分布（分子联合、分母边缘），见 条件分布。

关键认识： 是关于 的一个普通函数，记作 。把 换回随机变量得到——它本身是一个随机变量（因为 是随机的）。理解这一句，全期望公式就不神秘了。

二、全期望公式（塔性质）

展开成可直接使用的形式：

或

它就是全概率公式的期望版：把概率换成期望，其余一字不改。

三、求协方差的利器

因为给定 后 是常数，可以提到条件期望外面。

这一条把二重积分降成一重积分，是所有”给条件分布求 “题目的标准入口：

先对积一维

同理 ，于是 、、 三个矩全部只需一维积分，边缘密度 一次都用不上。

四、全方差公式

组内方差的平均组间均值的方差

“总波动 组内波动 组间波动”。考研直接用它的场合不多，但它解释了 混合分布的方差分解——那里的”组内方差 组间方差”就是这个公式在离散条件下的形态。

五、必须条件反射的一维结论

条件分布最常见的就是均匀分布：

（ 的二阶矩是 。）

六、” 是线性函数”时的捷径

若 ，则，只需 的一二阶矩， 的分布完全不用碰。 二维正态就是这种情形（），本章大量条件均匀的题目也是。

典型题型

  1. 两段式抽取：“从 取 ，再从 取 ”
  2. 自相似分割：“在 上取点分成两段，留一段再重复”
  3. 分支定义的随机变量：
  4. 给边缘 + 条件求 ：，
  5. 最优化应用题：期望利润关于参数求导找最值

图示 / 直觉

把 画成一条曲线：横轴 ，纵轴是”给定 时 的平均值”。这条曲线叫回归曲线。

  • 若联合密度的支撑集是三角形 ，回归曲线是 ——每条竖直切片的中点连成的线；
  • 二维正态的回归曲线是直线，斜率 ；
  • 全期望公式就是”把这条曲线按 加权平均”，得到一个数 。

为什么它比求边缘分布省事：求 要对每个 做一次积分（得到一整个函数），而全期望公式只要一个数。能少算就少算——很多题目里 的表达式（比如 ）根本用不上。

塔性质的名字来源： 像一座塔，先在每一层内部取平均，再对层间取平均——总平均与分组无关。这就是”先算各班平均分，再按人数加权，等于全年级平均分”。

常见误用

1. 是随机变量， 是数

混淆二者会导致”对一个数再取期望”这种无意义的写法。塔性质里外层的期望是对 取的。

2. " " 与 "" 是两条路

前者用条件密度（，不能用 ），后者用普通条件概率。 第18章反复强调过，本章继续。见 条件分布。

3. 把 里的 当成随机的

在条件之下 是已知的常数，可以随意提出积分号。这正是 成立的理由。

4. 分支定义时漏乘概率

某条件 里那个 的贡献是 该条件，不是 。

与旧知识的连接

  • 第16章全概率公式： 与 结构完全相同。把 换成 即可。
  • 第18章条件分布：本页的全部原料。
  • 第18章全集分解法：那里用分支求分布，这里用分支求期望，见 全集分解法。
  • 高数的累次积分：——塔性质本质上就是先积一个变量再积另一个，条件期望是内层积分的结果。
  • 第21、22章：条件期望是”最优预测”（在均方误差意义下 是用 预测 的最优函数），是回归分析的理论基础。

题型训练

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