考研笔记

概率的加减法公式与上下界

🏠 第16章概念导航 · 随机事件题库

方法模板

一、四个公式，全章计算的地基

减法：加法：容斥（三事件）：对偶：

减法公式不需要任何条件（不必 ）——这一点常被误记。只有写成 时才需要 。

二、四个量的”守恒律”

记 ，，，，则

且它们的大小顺序永远是，“和固定、 与 比 与 更分散”——这一句能秒杀本节所有不等式题。

三、上下界速查表

目标下界上界
（邦费罗尼）
（布尔）

四个界都能取到（构造 或 即可），所以是最优界。

邦费罗尼下界的来历：

四、一条恒等式，专治”概率乘积不等式”

推导只用守恒律：令 ，则，而 、。乘积形式的不等式，一律先化成两个非负数的乘积。

五、 型事件的翻译

对随机变量 与常数 ，记 ，，则

事件集合概率
（恰好一个）

对应”至少一个”， 对应”全部”——这两行以后在分布函数、次序统计量里会反复用到。

必考

880 第十六章基础选择 1

原题

设当事件 与 同时发生时，事件 必发生，则（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

第一步是翻译题干：同时发生时必发生，由单调性 ，再接邦费罗尼下界：

其余三项：

  • A、B 都要求等号，而条件只给了包含 。取 立刻否掉。
  • C 方向相反。

邦费罗尼下界 的来源只有一句话

因为任何概率都不超过 1。看到选项里出现 "" 这个组合，就该条件反射想到它。

推广到 个：。

880 第十六章基础填空 1

原题

设 ，，则 ____.

解析

条件概率的作用是把 和 依次解出来。

由 ：，由 ：，加法公式：

的隐藏含义：

两式的分子都是 ，相等就意味着分母相等。本题算出的 正是这条。

下次见到这个条件，可以直接写 省一步。1000 基础 1-7 就是靠这一条开局的。

880 第十六章基础填空 2

原题

设事件 满足 ，，，则 三个事件中至少出现一个的概率为 ____.

解析

题目没给 ，但它可以被夹出来：，（用了 的单调性。）

三事件容斥：

缺 不是缺条件，是让你自己夹

只要任何一个两两交的概率是 0， 就必然是 0。这是三事件容斥题最常见的送分点。

反过来，如果三个两两交都是正数，那 就必须由题目给出，否则题目本身不封闭。发现”少条件”时，先去两两交里找 0。

880 第十六章基础解答 4

原题

设 是两个随机事件，证明：，

解析

三个不等号分三段证，每段一行。

第一段（邦费罗尼下界）：把左端化简，，由加法公式，因为 。第一段成立。

第二段（单调性）：，故，第三段（布尔上界）：再用一次加法公式，因为 。

这条链的结构： 同一个加法公式，被两头各用了一次

把这个”守恒律”摆出来，左边界是” 顶到 1”，右边界是” 掉到 0”。两个端点对应两种极端构型：

  • 左端取等 （几乎铺满）；
  • 右端取等 （几乎互斥）。

中间那个 取等 与 几乎相等。

880 第十六章综合填空 2

原题

设 ，，则 的最大值与最小值分别是 ____.

解析

用守恒律 ，问题变成” 能取多大、多小”。

的取值范围：

代回：，两端都能取到：

  • ：取 ，此时 ，构型是” 只重叠 0.2 但合起来铺满”；
  • ：取 ，此时 。
最大值最小值

不必绕道 ，直接背表更快

本题：，。一秒出答案。

注意上界里的 不能省——本题 ，不截断就会答成 1.2。

拓展

1000 基础第1章 9

原题

对任意事件 ，下列结论正确的是（　）.

(A) 　　(B)

(C) 　　(D)

解析

记 ，，，，守恒律 。

(A) 正确。把 代入并因式分解：，而，故，(B) 错：取 互斥且非零，右端为 0，左端为正。

(C) 错：，即 ，一般不成立（取 互斥即崩）。

(D) 错：右端 而左端可以接近 2（取 ：左 2，右 1）。

另解（不用因式分解，用”和固定则近者积大”）

四个数满足 ，且，即 是把 向两侧撑开得到的一对（和不变，间距变大）。而和固定时，两数越靠拢乘积越大，故 。

记住这条恒等式，它比结论好用

右端还顺带告诉你取等条件： 或 ，即” 几乎含于 “或” 几乎含于 ”。

独立时 ？——注意 独立并不使两端相等：独立给的是 ，代入右端得 ，仍是严格不等。

1000 强化第1章 6

原题

设 为随机变量，且 ，，求下列事件的概率：

(1) ；(2) .

解析

关键是把随机变量的语言翻回事件的语言。 令，则，(1) 意思是” 中至少有一个 ”：

(2) 意思是”至少有一个 “，与 合起来就是”恰好一个 ”：

另解（(2) 直接拆两块）

两者互斥，相加得 。这条路顺带告诉你两块是对称相等的。

与"至少/全部"的对应，记死这两行

取反再用一次德摩根：，。

这四条就是第17章次序统计量分布函数 、 的全部来源——本题是那套公式在事件层面的预演。

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