考研笔记

半正态与绝对偏差统计量

🏠 数理统计概念导航 · 数理统计题库

方法模板

一、 的密度：折叠，不是平移（或标准化）

设 ，。用分布函数法，对 ：

求导：

（时为） 把负半轴折到正半轴，密度乘、定义域砍一半

这个分布叫半正态分布。考研不要求名字，但要求会推这两行。

二、三个必须能背的数字

第一个的推导（会算比会背重要）：

第三个直接由 ，而 （绝对值平方后消失）：

关键一步：，绝对值对偶次方无影响

三、为什么这一节属于数理统计

因为它给出 的一个矩估计：

这是 的一个无偏估计，与常用的 是竞争关系（ 反而不是 的无偏估计！见 无偏性）。

——数值上比 小得多，说明 的波动比 本身小，这是它能当估计量的原因。

必考

1000 强化篇 第8章 6

原题 设 （）为来自正态总体 的简单随机样本，，，，记 ，则 （　）。 (A) 　(B) (C) 　(D)

解析 记 ，它们独立同分布。

是 个独立同分布量的样本均值，故

选 A。

两个选项可以零计算排除

，方差不可能是负数 → B、D 立刻出局。 剩下 A、C 只差 与 ：样本均值的方差是 ，分母是 的一次方 → 选 A。 全程不需要真的推出 。

1000 强化篇 第8章 7

原题 设 为来自总体 的简单随机样本，记 （），若 ，则 ＿＿＿。

解析 ，写成 ，。于是对 （即 ）用上面的公式：

别把 写成

绝对值会改变方差：，而 。 折叠之后取值挤向 附近，波动反而变小。

这里的记号 提示： 是用两个样本估计 的一种方式。 若改问” 取何值使 无偏”，则用 ，得 ——同一个统计量，无偏与”方差为 1”给出的 不同。

880 第二十二章 拓展解答 1

原题 设相互独立的随机变量 均服从 ， （），。 （Ⅰ）求 的概率密度；（Ⅱ）利用一阶矩求 的矩估计量；（Ⅲ）求 和 。

解析

（Ⅰ） 对 ：

（Ⅱ） 一阶矩：

令样本一阶矩等于总体一阶矩，：

（Ⅲ）

顺带确认 无偏： ✓，且

这道题与 1000 强化篇第 8 章第 6 题是同一道题

880 把它列为”拓展题”，1000 把它当成一道普通选择题——说明它其实是必做的。 880 多问了（Ⅰ）密度与（Ⅱ）矩估计，1000 只留下（Ⅲ）的方差。两题合起来正好是完整的一条链：

折叠求密度一阶矩定估计量二阶矩定方差

也解释了为什么本节会出现在数理统计里：它是”用绝对偏差估计 “的完整推导。 注意这个 要求 已知； 未知时才轮到 出场。

链接

反向链接