考研笔记

二重积分比较、局部平均与黎曼和

🏠 第14章概念导航 · 重积分题库

方法选择

  • 同一区域上的积分比较，优先逐点比较被积函数。
  • 被积函数非负时，区域包含关系可直接转化为积分大小关系。
  • 小圆盘平均值趋于连续函数在圆心处的值。
  • 二重和式先提出 ，两个下标的范围共同决定积分区域。

必考

880 第6章基础选择 1

原题

设 由 与两坐标轴所围，

判断三者大小。

A.

B.

C.

D.

解析

在 上 ，故，九次幂保持大小关系，因此 。

880 第6章综合选择 1

原题

设 ，

判断三者大小。

A.

B.

C.

D.

解析

题面末项按选项应读作 。令 。由于 且 在 上严格递减，，另有

由 得 ；利用交错展开可得

从而 。故

选 。

880 第6章综合选择 2

原题

求

A.

B.

C.

D.

解析

改写为

这是单位正方形上的二重黎曼和，并且被积函数可分离：

1000 基础篇第14章 1

原题

设 由 所围，

判断三者大小。

A.

B.

C.

D.

解析

在 上，。故

选 。

1000 基础篇第14章 2

原题

设

。判断 的大小。

A.

B.

C.

D.

解析

区域满足 ，且被积函数恒正。故

选 。

1000 基础篇第14章 3

原题

求

A.

B.

C.

D.

解析

被积函数在原点连续，圆盘面积为 。由积分平均值定理，小圆盘平均值趋于圆心函数值，故极限为 ，选 。

1000 强化篇第14章 1

原题

求

解析

通项写成，故极限为

1000 强化篇第14章 3

原题

设 ，

判断三者大小。

A.

B.

C.

D.

解析

令 。对 ，，故 ，选 。

拓展

1000 强化篇第14章 5

原题

设

判断 与 的大小。

A.

B.

C.

D.

解析

在 上 ，故 。菱形面积为 ，且其中 ，所以对数项不大于零，。因此

选 。

补充题

二重黎曼和的区域由内层上限决定

原题

比较下列两个极限对应的积分区域：

解析

第一式中 ，对应单位正方形。第二式多出 ，对应三角形，所以两式分别趋于

同域积分先比较函数

原题

设 的面积为 ，且 ，估计 。

解析

由积分保序性，

相关概念

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