标准形与规范形

核心问题

“化为标准形”这四个字在题面上有两种截然不同的意思。哪一种要求系数必须是特征值？哪一种的答案唯一？ 分不清这两点，本章至少一半的题会答错。

名称	长相	唯一吗	用什么变换
标准形	，任意实数	不唯一	任何可逆线性变换
正交变换下的标准形	同上，但必须是的特征值	差一个排序	正交变换
规范形		唯一	任何可逆线性变换

题面只说"化为标准形" "经正交变换化为标准形"

前者系数五花八门（配方法出来的多半不是特征值）；后者的系数就是特征值。判断题常拿这个差别做文章：给一组特征值，问能否经正交变换化成某个标准形——答案取决于系数集合与谱是否逐个相等，不只是正负号个数相等。

在任何可逆线性变换下不变（惯性定理），所以规范形唯一。

3 阶且（纯交叉项二次型的标配）时直接定死：

推理只有一行：且不全为零必有正有负；三个非零数之积为正只能”两负一正”，为负只能”两正一负”。

选择填空一律走第 3 招，解答题才用第 1 招

三件套只需算一个 3 阶行列式；和差代换要写出完整的可逆变换矩阵，是解答题才需付的代价。

下 标 循 环

半正定，正定。 的奇偶会翻转结论：3 元的”两两作差”退化，4 元的”符号偶数个负”退化。

标准形 = 把等高面摆正（主轴对齐坐标轴）后的方程。

把配方法的系数当成特征值

同一个，正交变换给、配方法给 ——都对，因为标准形不唯一。只有”经正交变换”时系数才是特征值。

只用与反求参数而不验谱

三个数的和与积相同，第三个对称函数可以不同，谱就不同。 个数要个对称函数才定得死。

纯交叉项就以为

秩 2，；秩 3，。先定秩，再定符号分配。

标准形缺项时忘了那个

“标准形为 “（3 元）说明第三个特征值是 0，而不是别的。