考研笔记

二次型与二次曲面

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核心问题

一个三元二次方程画出来是什么形状？为什么只需要看三个特征值的符号，连特征向量都不用求？

先认图，再记分类表

先看本页五张二次曲面图解。另有可拖动旋转的三维图，用浏览器打开即可离线查看。

核心定义 / 定理 / 结论

三步判曲面

  1. 对不含一次项的 （ 对称），先读清右端 ，求 的谱；
  2. 数正、负、零的个数；
  3. 查表。

给定右端的符号后，曲面的大类由特征值的符号分布决定， 只影响坐标架的摆放；系数的大小还决定轴长和是否具有圆对称。只问大类时求谱即可；问到”母线方向""对称轴”时再求相应特征向量。含一次项时，还要先化简，不能直接套下面的表。

分类表

（右端为正）

符号分布秩曲面
3椭球面
3单叶双曲面
3双叶双曲面
2椭圆柱面
2双曲柱面
1两张平行平面
全非正——空集

（右端为零）

符号分布图形
三个同号一个点（原点）
或 锥面
两个同号 + 一个零一条直线
两张相交平面
恰有一个非零特征值一张平面
整个三维空间（此时方程恒成立）

同一个 的三兄弟

谱为”两正一负”时：

单叶双曲面锥面双叶双曲面

锥面是两个双曲面之间的临界情形（渐近锥）。 右端那个数必须读进去。

两个细节

"圆"要求两个非零系数 相等，不只是同号

是椭圆柱面； 才是圆柱面。同理圆锥面、球面。

右端的符号翻转整张表

等价于 ，把全部特征值取反再查表。

柱面的母线方向 的特征向量

标准形里缺哪个变量，母线就沿哪个方向。两种等价说法：

  • 代数：解 ；
  • 几何：，沿 平移 不变。

只问母线方向时，解一个齐次方程组就够了，不必求整个 。

带一次项：有中心时可先平移，再转轴

可逆时中心 由 确定，令 ：

（交叉项 被中心条件消掉；常数项 。）

再用正交变换转轴。这是方便的流程，顺序也可以反过来：先转轴会把一次项变成 ，随后仍可配方平移；正交变换只负责消交叉项，不会自动消掉一次项。

当 不可逆时，先检查 是否有解。有解仍可平移消去全部一次项；无解时无法这样消去全部一次项，可能出现下图中的抛物面或抛物柱面。

切平面：极平面公式

在处的切平面为

记法：把 里的两个 ，换掉一个。

典型题型

  • 判断 表示什么曲面（选择题主力）；
  • 已知是柱面/圆柱面/椭球面，反求参数；
  • 求柱面的母线方向；
  • 带一次项的一般二次方程化简（找中心 + 转轴）；
  • 二次曲面上一点的切平面。

图示 / 直觉

1. 六种基本形状，先记轮廓

以下都是曲面本身，不包含内部实体。图中的 已是化简后的标准坐标；金色线是从曲面上截出的曲线。开放曲面的边缘只是画图时的截断，实际会继续延伸。

  • 椭球面：一层封闭的壳，像拉伸过的球；三个半轴相等才是球面。
  • 单叶双曲面：一个收腰的筒，上下连成一整张面。
  • 双叶双曲面：两片分开的面，尖端相对，中间有空隙；“叶”指分开的连通部分。
  • 锥面：两个锥瓣在顶点相接，标准方程一般包含上下两瓣。
  • 椭圆柱面：椭圆沿一个方向一直平移，横截面的大小不变。
  • 双曲柱面：双曲线的两支各自平移，得到两片弯曲的面。

图里锥面和双曲面选取了圆对称的参数，便于认形；改变 会改变比例，不会改变对应的大类。图中的“上下”也只是所选主轴方向，转轴后它们可以倾斜。

2. 单叶、锥面、双叶：切一刀最清楚

固定 ，考虑 。用水平面 去切，得到 。

右端水平截线整体形状
任意高度都有圆； 时半径最小，为 单叶：腰部仍连着
时为圆； 时缩成一点锥面：上下在原点相接
时为圆； 时为点； 时无实点双叶：中间断开

不要只背“两个正号就是单叶”，还必须看右端。这里始终是同一个二次型，改变的只有 。

3. 柱面为什么能一直延伸

以 为例，方程没有 。只要 在这个椭圆上， 对任意实数 都在曲面上，这一整条直线就是母线。换成双曲线也是同样的道理。

缺哪个变量，就沿哪个坐标方向延伸；回到原坐标后，这个方向由 给出。图中的蓝线就是几条代表性的母线，柱面没有上下两个“盖子”。

4. 补充：抛物面和抛物柱面

这一组是与空间解析几何的对照补充：

  • 椭圆抛物面 ：像碗。 时只有底点； 时截出椭圆，越高越大。
  • 双曲抛物面 ：像马鞍。令 ，截线是向上开的抛物线；令 ，截线是向下开的抛物线。双曲抛物面与双叶双曲面不是同一种曲面。
  • 抛物柱面 ：像长槽。因为没有 ，把抛物线沿 轴一直平移即可。

这里 是一次项。不能因为二次部分有零特征值，就直接判断成椭圆柱面或双曲柱面；还得把一次项读进去。

5. 别漏掉退化图形

方程的解集还可能是平面、直线、点或者空集。先问方程能否有实数解，再问解集是什么形状。 例如平方和为零要求每个平方项都为零；平方和等于负数则没有实点。

6. 把图形与特征值接起来

对椭球面 （所有 ），特征值决定各主轴方向的“松紧”：半轴长为 ， 越大，该半轴越短。一般情况下则要看整个方程：

情形能直接读出的几何信息适用说明
所有特征值 ，右端为 椭球面，各半轴长为 所有方向一起受约束
有正有负不同平方项可以相互抵消，出现无界的双曲面或锥面再结合秩和右端判断大类；秩 时也可能是双曲柱面或相交平面
某个特征值 该主轴方向不出现在二次型中，沿它平移不改变 对不含一次项的 成立；退化时也可能是平面、直线等

不能把“某个特征值为正”单独解释成“这个方向一定有界”。例如单叶双曲面 中， 的系数为正，但取 、， 仍能无限增大。

所以，“数正负零”是在判断平方项能否相互抵消、是否存在平移不变的方向；再结合右端确定曲面大类。特征向量告诉你这些主轴在原空间里朝哪里。

常见误用

忘了看右端的数

同一个谱，、、 给出三种不同曲面。

把秩 1 的情形答成柱面

对不含一次项的 ，非退化的椭圆柱面或双曲柱面要求秩恰为 。秩 且唯一非零特征值为正时，是两张平行平面（）；该特征值为负则为空集。含一次项的抛物柱面不适用这条秩判据。

含参题只用 不回代验秩

只保证秩 。若零特征值是二重的，秩会掉到 1，就不是柱面了。

漏掉"圆"字

“圆柱面”比”柱面”多一个条件：两个非零系数相等。

以为转轴会自动消掉一次项

转轴只消交叉项，一次项通常仍在。有中心时可先平移再转轴，也可先转轴再配方；没有中心时不能套用“平移消掉全部一次项”的流程。

与旧知识的连接

  • 高数（空间解析几何）：那里按标准方程认曲面、按梯度求切平面；这里负责把一般二次方程化成标准方程，两者正好接上；
  • 第14章：、秩 1 阵的谱是这里判曲面的第一快捷键；
  • 第13章：母线方向就是 的解空间；
  • 第15章内部：椭球面 正定，所以”求参数使曲面是椭球面”与”求参数使二次型正定”是同一道题。

题型训练

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