同解定理与法方程

核心问题

为什么出现时可以”脱掉一层 “,而、就不行?为什么一定有解,哪怕无解?

设为实矩阵,则 $与同解$ ，证明(两行,必须能默写)

:,显然。

:两边左乘 ,

关键机制:实数平方和为零每项为零。 这是线代里少有的”实数域专属武器”,也是唯一能从”乘积为零”倒推出”因子为零”的场合。

且。

对任意实矩阵与任意 , $必有解$ ，证明增广矩阵可整体提出公因子:。于是

夹逼取等。

几何证法:把分解,、。则存在使 ,而 ,故。

法方程的解使最小,因为恰是在列空间上的正交投影。“法方程恒有解”的本质是”投影永远存在”。

        b
        │╲
        │  ╲  (b − Ax₀ ⟂ 列空间)
        │    ╲
   ─────┴──────╲──────  列空间 C(A)
       Ax₀ (投影)

无解意味着不在列空间这张”平面”上。此时能做的最好的事就是投影:找使是平面上离最近的点。垂直条件展开就是法方程。

至于”为什么能脱一层”: 说明与的所有列都垂直,而 本身就在列空间里——既在其中又与其中一切垂直,只能是零向量。

把也当成能脱的

(取 )。只有、这种”自身与自身转置”的组合才行,因为只有它们能凑出范数平方。

真的把乘出来再消元

是时是 ,算量翻好几倍。认出同解标签,直接用的结果。

忘了"实矩阵"这个前提

定理 1 的证明依赖 ,复数域下不成立。

用" 正定"时忘了对称

这一步必须靠。