考研笔记

列向量重组与新方程组

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

这是本章最有辨识度的一类题:已知 的通解,把 的列打乱、替换、添一列做成新矩阵 ,再问 的通解。

全部信息只有两句话

设 ,已知通解为 (或多个 ),则

表示式 关系式

这两个等式就是题目给你的全部弹药,后面所有推导都只是在拼接它们。

四步流程

  1. 抄下表示式和关系式,并由参数个数读出 参数个数。
  2. 求 :把 的每一列用 表示,看列空间有没有变。通常新添的那列(含 的)仍落在 里,于是 ,进而 的列数——这个数决定了答案里有几个参数。
  3. 凑特解:把 展开成 的组合,用已有等式直接凑系数,不要去消元。
  4. 凑基础解系:每个关系式都能变形出一个 中的向量;凑够 个并验无关。

凑特解的两个万能起手

① 若 的某列恰是 加减若干 ,就让那一列的系数取 1,再用别的列把多余的项抵消(见 880 综合填空 1); ② 若右端 本身就是几个 的组合,直接把这些系数填到对应位置上。

参数个数是硬约束,写完必须回头数一遍

的列数往往比 多一列,而秩通常不变,所以 通常比 多 1。少写一个基础解系向量是这类题最高频的失分点。

每一步都能白白验算

凑出来的 都可以直接代回 检查(只需把 当符号做加减)。这类题的验算成本几乎为零,不验是浪费。

必考

880 第十三章基础解答 7

原题 已知 矩阵 ,非齐次线性方程组 的通解为 , 为任意常数,令 ,求方程组 的通解.

解析

第一步:抄下两句话。

表示式 关系式

通解含 1 个参数, 有 3 列,故 。

第二步: 与参数个数。

由表示式,,故新加的第四列 也在里面,列空间没变:，答案里要有 2 个参数。

第三步:把第四列化简。 这是关键的一步整理:，于是 , 彻底消失了,后面全是 的加减。

第四步:凑特解。 要 。最直接:让第一列出 、第二列出 、后两列不用:

第五步:凑两个齐次解。

  • 关系式直接给一个(把原来的 补一个 0):
  • 第四列的化简式给另一个:,即

验无关: 的第 4 分量是 0、 的是 1,不成比例,线性无关 ✓;个数 ✓。

通解:

第三步"把 消掉"是全套流程的发动机

只要新列写成了纯 的组合,后面凑特解、凑齐次解就都变成小学加减法。看到 里有含 的列,第一件事就是用表示式把 换掉。

两个齐次解的来源是"两类"而不是"两个"

来自原有的线性关系(把旧 后面补 0); 来自新列与旧列的依赖关系( 能被前三列表示这件事本身)。每加一个”能被旧列表示”的新列,就多出一个这样的齐次解——这正是 比 多 1 的原因。理解了这条,以后不用死记要凑几个。

880 第十三章综合解答 2

原题 设 是 4 阶矩阵,非齐次线性方程组 的通解为 , 为任意常数,记 .

(Ⅰ) 证明:;(Ⅱ) 求方程组 的通解.

解析

第一步:两句话。

表示式 关系式

参数 1 个, 有 4 列,故 。

第二步:化简 的第四列。，于是 。 的列全部落在 里。

(Ⅰ) 证明 。

由上式,(第四列是前三列的组合,不贡献秩)。

现在证 :

  • :关系式 说明这三个向量线性相关,故秩 。
  • : 只有 1 维。若 的秩 ,它们之间就会有两个线性无关的关系,每个关系补上第 4 个分量 0 后都落在 里,与 矛盾。故秩 。

综上 。

(Ⅱ) 求通解。 ,答案要 2 个参数。

取一组基。 由 ,且 线性无关(秩为 2,而唯一的关系已含 ),把右端也换算过去:，凑特解。 的第一列是 、第二列是 ,所以取第二列系数 1、第一列系数 :

凑齐次解。

  • 由关系式 ,而 的列序是 ,所以系数要按新顺序摆:
  • 由第四列的化简式 :

直接验: ✓

验无关: 第 4 分量 0 与 1,无关 ✓;个数 2 ✓。

通解:

列被打乱时,系数也要跟着换位

把第一列和第三列对调了。原关系式的系数 对应 ,搬到 上就必须写成 。这是本类题唯一需要”手工对齐”的地方,也是最常错的地方——写完务必代回 验一次。

第 (Ⅰ) 问的" "方向别偷懒

很多人只写”由关系式知相关,故 “,就直接下结论 。必须再论证不会更小。 本题的论证工具是” 意味着关系只有一条”,这是把”参数个数”这个已知量用到了极致。

1000题强化篇 第5章 13

原题 设 ,方程组 有通解 ,其中 是任意常数,又设 ,求方程组 的通解.

解析

第一步:两句话。

表示式关系式

参数 1 个,3 列,故 。

第二步:。 的第一列 ,其中 已是 的组合,所以整列仍在 内:，第三步:凑特解——这题有个漂亮的一步解。

的第一列里”打包”了 。取第一列系数 1,再用后三列各减一次,把 剥掉,剩下的正好是 :

一个字都不用算。

第四步:凑两个齐次解。

  • 原关系式补一个前导 0:
  • 再找一个第一分量非零的。先把第一列彻底展开:

于是取第一列系数 1、再减去 和 :

验无关: 首分量 1、 首分量 0,无关 ✓;个数 2 ✓。

通解:

"打包列"的两个标准用法

当 的某列写成 这种”打包”形式时: ① 要 (求特解):取该列系数 1,后面各列系数取 把 剥干净; ② 要 0(求齐次解):先把该列完全展开成 的组合,再用后面的列原样减掉。 两招都不需要解方程组。

展开时别漏项

第二步的展开 里, 的系数恰好是 。系数为零的项要显式写出来,否则凑 时容易在第三个位置填错数。

拓展

880 第十三章综合填空 3

原题 设 是 2 阶矩阵,线性方程组 的通解为 。若 ,则 ____.

解析

答案 。

第一步:通解告诉我们 在两个方向上的作用。

由参数个数 1 得 。而 与 显然不成比例,它们构成 的一组基,于是 被完全确定了(尽管我们并不需要写出 )。

第二步:把 拆到这组基上。 设 :

第二式给 ,代入第一式:,。

核对: ✓

第三步:线性性一用到底。

另解：直接求出 ，不必先求逆矩阵。

设 。由两个已知的乘积，分别得到

代入 ，得 ，所以

代回题设核对：

于是 ，仍得 。

两条路都可以，求出 后要代回核对

可以像上面先表示 ，再利用线性性直接算 ；也可以设四个元素，由已知方程求出 。本题正确矩阵含有因子 ，不能漏掉。 直接算 的思路也见 1000基础篇第4章11。

的信息在哪里用到了

与题设只有一个自由参数一致，也可用来核对算出的矩阵。但两个已知向量线性无关，并不需要靠 证明：若 是 的倍数，左乘 后也应为零，与 矛盾。因此它们构成一组基， 被唯一确定。

880 第十三章综合解答 3

原题 设 为 矩阵,,若向量组 ,,, 与方程组 的基础解系等价,求 的通解.

解析

第一步:把”等价”翻译成秩条件。

是 、,故基础解系含 个向量,张成一个 3 维空间。向量组与基础解系等价意味着两者张成同一个空间,于是，4 个 4 维向量秩为 3 它们线性相关 ,其中 。

第二步:解 。

。

第三步:逐个确认秩确实是 3(不能更低)。

沿用上面的阶梯形,只需看后三行 的秩是否为 2。

后三行化简秩
;后两行减前行得 成比例2 ✓
;两两作差得 成比例2 ✓
;作差得 成比例2 ✓

三个值都给出 ✓,三种情形都符合题意。

第四步:写通解。 秩为 3 时,四个向量中任取一个极大无关组(3 个)即构成 的基础解系。由上表, 在三种情形下都无关(阶梯形的前三列含主元),故任意，其中

  • :;
  • :;
  • :。

三个根都要保留

很多解答只写出 就收笔。本题 是三次式,三个根都使秩恰为 3,都是合法答案。凡是”等价 行列式为零”型的题,解完方程一定要逐根验秩:验出来秩不对的才能舍,秩对的都得留。

"与基础解系等价"只给两件事

① 张成空间相同 ⟹ 秩相同(这里 );② 每个 都是 的解(由等价自动成立,不必另证)。至于 本身长什么样,题目根本不需要、也不可能确定——满足条件的 有无穷多个,但 的解空间是唯一的。看清这一点就不会浪费时间去反解 。

链接

反向链接