曲线积分与曲面积分题库
本页收 60 道，全部来自 880 第九章与 1000题 第18章，按题型分组、逐题写出解析。 三重积分与二重积分不在本页，见 重积分题库。
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怎么刷这 60 题
一次只刷一个题型页，不要按书上的页码顺序刷。 每页内部是同质的，连着做才能把判据练成条件反射；跨题型混着做等于每题重新切换一次上下文。
| 轮次 | 刷什么 | 题数 | 建议时长 | 过关标准 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 第一类曲线积分 | 12 | 2.5 h | 拿到题先问”能不能代曲线方程”，而不是先想参数化 |
| 2 | 第一类曲面积分 | 11 | 2.5 h | |
| 3 | Green 公式 | 10 | 2.5 h | 补线方向判对；见 |
| 4 | 路径无关与挖洞 | 10 | 3 h | 三分判据脱口而出；挖洞换线选对 |
| 5 | Gauss 公式 | 9 | 2.5 h | 先算散度再动手；补面记得减掉 |
| 6 | Stokes 与空间环流 | 8 | 2 h | 优先”代方程降维”，Stokes 是后备 |
| — | 合计 | 60 | 15 h |
第二遍只做标了 ⭐ 的 12 道（约 3 h），它们要么是母题、要么是两本书交叉出现的题。
卡住时的自查顺序：① 这是第几类？② 曲线/曲面方程代进去了吗？③ 方向判对了吗？ ④ 该用的公式的条件满足吗？—— 90% 的错停在这四问里。
第一类曲线积分
必考
- 880 第9章基础选择：1 —— 形心 × 弧长
- ⭐ 880 第9章基础填空：2 —— 第一类与第二类的分水岭题
- 880 第9章基础填空：3 —— 轮换对称 + 过原点平面
- 880 第9章基础填空：4 —— 被积函数化常数，交线圆半径
- 880 第9章基础填空：6 —— 直线段参数化
- 880 第9章基础填空：7 —— 代方程 + 奇偶
- 880 第9章基础解答：1 —— 分段（三段）
- 1000 基础篇第18章：3
- ⭐ 1000 基础篇第18章：4 ——
的反例 - 1000 强化篇第18章：2
- ⭐ 1000 强化篇第18章：5 —— 凑
化常数 - ⭐ 1000 强化篇第18章：6 —— 轮换对称的适用边界
第一类曲面积分
必考
- 880 第9章基础选择：2 —— 偏心球的形心公式
- ⭐ 880 第9章基础选择：3 —— "
" 成立的条件 - 880 第9章基础填空：1 —— 平面的
是常数 - 880 第9章基础填空：5 —— 八面体，轮换对称
- 880 第9章基础解答：11 —— 锥面
- 880 第9章综合填空：3 —— 代方程 + 形心两拍
- 880 第9章综合解答：13 —— 柱面必须参数化
- ⭐ 880 第9章综合解答：14 —— Viviani 问题
- ⭐ 880 第9章综合解答：27 —— 偏心球平移法
- 1000 强化篇第18章：21 —— 球冠，
化对数 - ⭐ 1000 强化篇第18章：26 ——
与 的分辨
Green 公式
必考
- 880 第9章综合选择：3 —— 面积公式的系数
- 880 第9章基础解答：5 —— 含参最大值
- ⭐ 880 第9章基础解答：2 —— 拆全微分 + 补线
- 880 第9章综合解答：3 —— 混合偏导相消（负向）
- 1000 强化篇第18章：14 —— 混合偏导相消（正向）
- 1000 强化篇第18章：3 —— 比较大小用形心
- 1000 强化篇第18章：13 —— 补两段线
- 880 第9章综合解答：2 —— 证明不等式
- ⭐ 1000 强化篇第18章：15 —— 两本书交叉收录，代微分关系
- 880 第9章综合解答：6 —— 抽象
凑全微分
路径无关与挖洞
必考
- ⭐ 880 第9章基础解答：3 —— 本节母题，三种情形一次演完
- ⭐ 880 第9章基础解答：4 —— 挖洞换椭圆而非圆
- 880 第9章基础解答：7 —— 非闭路径补线
- 880 第9章基础解答：8 —— 定参数 + 求势函数
- 880 第9章综合填空：1 —— 分母在
上是常数，不用挖洞 - 1000 基础篇第18章：6 —— 全微分求原函数
- 1000 基础篇第18章：8 —— 定抽象
后走折线 - 1000 基础篇第18章：9 —— 拆全微分 + 挖椭圆
- 1000 强化篇第18章：8 —— 与上题同构
- ⭐ 1000 强化篇第18章：18 —— 拆成
与 两块积木
Gauss 公式
必考
- 1000 基础篇第18章：11 —— 散度塌缩成
- 1000 基础篇第18章：10 —— 卧式圆柱
- 880 第9章基础解答：12 —— 补顶盖
- ⭐ 880 第9章基础解答：14 —— 两个关卡都在方向上
- ⭐ 1000 基础篇第18章：13 —— 散度为零
- 880 第9章基础解答：15 —— 不用 Gauss，分三片直接算
- ⭐ 880 第9章综合解答：23 ——
定型场 - 880 第9章综合解答：26 —— 通量，球坐标
- 1000 强化篇第18章：22 —— 斜轴锥用”沿轴距离”积分
Stokes 与空间环流
必考
- ⭐ 880 第9章基础解答：9 —— 代方程降维的标准长相
- 1000 基础篇第18章：16 —— 恰当微分项归零
- 880 第9章基础解答：10 —— 真用 Stokes，展开后合并
- 1000 强化篇第18章：10 —— 先求轨迹再降维
- ⭐ 1000 强化篇第18章：16 —— 常旋度，几何上一眼看出答案
- 1000 强化篇第18章：11 —— 两次投影
- 1000 强化篇第18章：12 —— 非闭，老实参数化
- 1000 强化篇第18章：27 —— 三处”在
上”化简
尚未收入本页的源题
以下题目在源书中属于本章，但归入其他题型页或暂缓：
| 来源 | 去向 |
|---|---|
| 1000题 基础18-1、18-2，强化18-1、18-4、18-23 | 三重积分 → 重积分题库 |
| 880 第9章综合解答 (1)(4)(5)(7)(8)(9)(11)(12)(15)–(22)(24)(25)(28)、拓展题 3 道 | 二刷时按同样格式补入对应题型页 |
| 1000题 强化18-7、18-9、18-17、18-19、18-20、18-24、18-25、18-28、18-29 | 同上 |
| 880 第4章 空间解析几何 25 题、1000题 第17章 29 题 | 第17章题型页尚未建，待补 |
链接
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