考研笔记

第一类曲线积分：曲线方程化简与对称性

🏠 第18章概念导航 · 曲线曲面积分题库

方法选择

这一类积分的解题顺序是固定的，四步，按序试：

  1. 先把曲线方程代进被积函数。「在 上」 是恒等式，代进去往往直接把被积函数变成常数。这一步能省掉一半的题的计算。
  2. 用对称性杀项。 第一类积分没有方向，对称性完全可用：关于某坐标面对称时该变量的奇次项积分为零；空间曲线若关于 轮换对称，则 。
  3. 被积函数化成常数了就直接乘弧长。 球面 与平面截出的圆，半径是 ， 是球心到平面的距离。
  4. 都不行才参数化。 ，那个模长不能丢。

与第二类的分水岭

第一类与方向无关，参数怎么取都行，起点终点可以对调；第二类换向必须整体变号。 同一条弧上问 和 ，答案不但不同，连”要不要管方向”都不同——见下面第 2 题。

必考

880 第9章基础选择 1

原题

设 为圆周 ，则 。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

配方得 ，圆心 ，半径 ，周长 。

用形心公式：，而圆周的形心就是圆心，故 。于是

选

别硬算。 圆周不过原点时 ，直接用”形心 × 弧长”是最快的路。

880 第9章基础填空 2

原题

设 为 上由点 到点 的一段弧，则，

解析

参数化 。点 对应 ，点 对应 。

第一类（与方向无关， 的上下限按大小排）：，

第二类（有方向，必须从 积到 ）：，

这道题是全章的分水岭题：同一条弧，第一类的上下限按大小写，第二类的上下限按起点终点写。

880 第9章基础填空 3

原题

设 为球面 与平面 的交线，则 。

解析

平面过球心，交线是大圆，半径 ，周长 。

：大圆关于原点中心对称， 是奇函数，积分为 。

：交线关于 轮换对称（球面方程和平面方程都对轮换不变），故

因此 。

880 第9章基础填空 4

原题

设曲线 为 与 的交线，则 。

解析

被积函数在 上恒等于 ，直接提出来：弧长，球半径 ；球心到平面 的距离 。交线圆半径弧长，故 。

880 第9章基础填空 6

原题

设 为点 到点 的直线段，则 。

解析

参数化 ，则 ，。

880 第9章基础填空 7

原题

设曲线 为上半圆周 ，则 。

解析

先代曲线方程：在 上 ，故 是常数；又，上半圆关于 轴对称， 关于 是奇函数，故 。弧长为 ，于是

880 第9章基础解答 1

原题

设 为由 、 和 所围凸平面区域的边界， 为极坐标，计算，

解析 被积函数是 。边界由三段组成，分段积：

两条半径段（ 与 ）：沿半径 ， 从 到 ，每段，一段圆弧（）：，（）， 从 到 ，被积函数恒为 ，，合计

闭曲线不一定要用公式。 第一类没有 Green 可用，分段硬算就是正路；关键是别漏掉哪一段。

1000 基础篇第18章 3

原题

设 为圆周 ，则 。

解析

（圆周关于 轴对称， 是奇函数）。

与 在圆周上地位对称，故，所以原式 。

1000 基础篇第18章 4

原题

设曲线 为曲面 与平面 的交线，则 。

解析

球心到平面的距离 ，交线圆半径 ，弧长 。

关于 轮换对称，因此

于是

注意 不是零——平面 不过原点，交线圆的形心不在原点。 判据：平面过原点才有一次项积分为零，见上面 880 基础填空 3。

1000 强化篇第18章 2

原题

设曲线 的方程为 ，则 。

解析

取 为参数：，，故 。

1000 强化篇第18章 5

原题

设 是空间圆周 ，则 。

解析

关键是把被积函数化成常数。 由在 上得常数，再求弧长：，，弧长 。

这是”先代方程”最漂亮的一例：直接算 极其麻烦，凑平方后一步到常数。 见到 就想 。

1000 强化篇第18章 6

原题

设 是球面 与平面 的交线，则 。

解析

平面 过原点，交线是大圆，半径 ，周长 。

这里不能用轮换对称（平面 对轮换不封闭），老实参数化。取平面 内的一组正交单位向量，则 ，，。

轮换对称的适用判据：曲线的两个方程都要在 下不变。 满足， 不满足。搞错这一条是本节最常见的错。

相关概念

反向链接