考研笔记

Green 公式：补线闭合与面积公式

🏠 第18章概念导航 · 曲线曲面积分题库

方法选择

为的正向边界

用之前必须过三道关：

  1. 闭不闭？ 不闭就补线——补最好算的那条（坐标轴上的线段、连接两端点的直线），算完再减掉。
  2. 方向对不对？ 正向 = 沿边界走时区域在左。顺时针要在结果前加负号。
  3. 在整个闭区域 上偏导连续吗？ 有奇点就不能直接用 → 转 挖洞那一页。

四个高频结构，看到就直接套：

结构处理
的面积（）
里出现 二阶混合偏导 必然相消，只剩显式那部分
被积式里能凑出某个 先把全微分部分单独拆出来按端点算，剩下的再上 Green
含参数 问何时最大Green 化成 的函数再求导，本质是一元极值题

必考

880 第9章综合选择 3

原题

设 为平面光滑简单闭曲线，取逆时针方向， 所围区域的面积为 ，则（　）。

A. 　　B.

C. 　　D.

解析

对 B：，

A、D 中 ，积分恒为零；C 少了系数 ，结果是 。选 。

面积公式要连系数一起背。 另外两个等价写法：。

880 第9章基础解答 5

原题

设曲线 ，取逆时针方向，问 为何值时积分取得最大值，并求最大值。

解析

，

正向，直接用 Green 并转极坐标：

且 在 两侧由正变负，为极大也是最大。

时最大，

这一类题的套路是死的：Green 把曲线积分化成 的函数，然后就是一元求极值。 认出「被积式化简后含因子 」——它在 处变号，最大值必在那里取。

880 第9章基础解答 2

原题

设 为 上从点 到点 的一段弧，计算

解析

第一步：拆出全微分。 注意，这部分只看端点：。

第二步：剩下的补线用 Green。 剩余部分 ，

补 ：从 沿 轴回到 。 是上半圆从左端到右端，是顺时针，加上 后整体为负向：

半径的半圆

上 ， 从 到 ：，第三步：

补线方向的判法：不要背，画个图看走一圈时区域在左还是在右。区域在右就是负向，前面加负号。

880 第9章综合解答 3

原题

设 在 上有二阶偏导数， 为 ，取顺时针方向，计算，

解析

两个二阶混合偏导相等，直接抵消，抽象函数完全消失。

取顺时针（负向），故

椭圆面积

1000 强化篇第18章 14

原题

设函数 在区域 上二阶偏导数连续， 是 取正向的边界曲线，则，

解析

正向， 是半轴为 和 的椭圆域，面积 ：

原式

和上一题是同一个机关，只是一个正向一个负向、一个常数是 一个是 。 见到 出现在 里就直接划掉，剩下的显式项才是答案。

1000 强化篇第18章 3

原题

设 为曲线 ，取逆时针方向，

则 的大小顺序为（　）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

三个积分的 相同，，差别只在 ：

是圆心 、半径 的圆盘，面积 ，形心即圆心。用形心公式：

于是，，即 ，选 。

比较大小题不要真算积分，Green 化成二重积分后用形心一眼看出正负即可。

1000 强化篇第18章 13

原题

设 为曲线 上从点 到点 的一段弧，则，

解析

。

是椭圆 在第一象限的四分之一弧，从上端 到右端 ，是顺时针。 补两段： 从 沿 轴到 ， 从 沿 轴到 。 恰好是四分之一椭圆域正向边界的反向，故，补线上的积分：

880 第9章综合解答 2

原题

设 ， 为 的正向边界，证明：，

解析

，

由 Green，， 是四分之一圆盘，关于直线 对称，故 。于是

其中用到 。证毕。

证明题的路子：Green 化成二重积分之后，剩下的全是二重积分的老手艺—— 对称性换元 + 基本不等式。曲线积分本身不参与证明。

1000 强化篇第18章 15

这道题 880 也收了（第9章综合解答 10），两本书交叉出现 = 重点题

原题

设 确定一条简单封闭曲线 （取正向），其所围区域记为 ， 的面积为 ，则，

解析

关键是用曲线自身满足的微分方程去换微元，而不是去算 （ 是抽象的，算不动）。

在 上处处有 ，即，代入：，于是（最后一步就是面积公式 ）。答案 。

本章最漂亮的一道题。 它考的不是 Green，是” 上的点满足什么方程”这个意识—— 和第一类积分里”先代曲线方程”是同一个思想，只是这里代的是微分关系。

880 第9章综合解答 6

原题

设 有连续导数， 为从点 沿 的上半圆周到点 的一段弧，计算，

解析

第一步：拆全微分。，从 到 的值为 。抽象函数就此消失。

第二步：剩下 ，补线。 圆心 、半径 ， 而 与 的中点恰是圆心，故 是直径。补 ：从 沿直线 回到 。

沿上半圆从右端到左端、 沿直径从左端回到右端，合起来是正向（区域在左）：

补线上（）：，第三步：

含抽象 的曲线积分，第一反应永远是”能不能凑全微分”。 凑出来之后 只在端点出现，而端点的值题目一定给得出来（这里靠 直接归零）。

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