路径无关、势函数与挖洞的平面

🏠 第18章概念导航 · 曲线曲面积分题库

方法选择

全章最容易出错的一节。 错因几乎全部集中在一句话上：

只是局部条件，它不保证路径无关

还必须要求区域单连通。分母含 一类的场，在原点处偏导不存在， 挖掉原点后区域就不再单连通，此时 但 可以不为零。

判据三分法——先看曲线把奇点围没围住：

情形	做法	结果
在闭区域上处处有连续偏导，	直接 Green
奇点在 外	直接 Green
奇点在 内	挖洞：换成绕奇点的小闭曲线	小曲线上的值

挖洞换哪条曲线？——换能让分母变成常数的那条。

分母	换成	该曲线上分母
	小圆
	椭圆
	椭圆

换完之后统一用面积公式 ， 是小曲线围的面积。

必考

880 第9章基础解答 3

本节的母题，三小问把三种情形一次演完。

原题

计算 ，其中

（Ⅰ） 为 ，取逆时针方向； （Ⅱ） 为 ，取逆时针方向； （Ⅲ） 为 ，取逆时针方向。

解析

先算一次偏导，三小问共用：

（Ⅰ） 圆心 、半径 ，到原点的距离 ，原点在 外。 在整个闭区域上偏导连续，Green 直接给

（Ⅱ） 原点在 内。 上分母恒为 ，直接参数化 ：

（Ⅲ） 原点在 内，但椭圆上分母不是常数。挖洞：取充分小的 使小圆 （逆时针）完全落在椭圆内。在椭圆与小圆围成的环形区域上 处处成立，由 Green 得 。而 就是（Ⅱ）：

（Ⅱ）（Ⅲ）答案相同不是巧合：这个场的积分只数「绕原点转了几圈」，与曲线形状无关。 认出这一点，以后见到 且曲线绕原点一圈，可以直接写 。

880 第9章基础解答 4

原题

设 ，取逆时针方向，计算 。

解析

原点在 内，挖洞。注意换成的不是小圆而是椭圆 （逆时针， 充分小）， 因为只有它能让分母变常数：

的标准形是 ，半轴 ，面积 。故

必然消掉——这是验算的抓手。如果算完 还在，一定是哪里错了。

880 第9章基础解答 7

原题

计算 ，其中 是从点 沿直线到点 ， 再沿曲线 到点 。

解析

不闭合，且奇点在”里面”，所以要补线闭合。 补 ：从 沿直线 回到 。

先确认 绕原点一圈： 在第一象限，经 到第二象限左端， 再沿抛物线经 到 ，最后竖直回到 ——逆时针绕原点整一圈。由上一题的结论，补线上： 从 到 ，

另一种看法：这个场就是极角微元 ， 等于沿路径的极角总变化。 的极角 ，绕行到 时极角已连续增加到 ，差值正是 。两种算法互为验算。

880 第9章基础解答 8

原题

设 ，，。

（Ⅰ）若积分 在 内与路径无关，求 的值； （Ⅱ）在 内求 使 ，并计算 。

解析

（Ⅰ） 记 ，则 ，。

是上半平面，单连通，故路径无关 两者相等。约去 ：

故 。

（Ⅱ） 此时 。取，验证： ✓；

（一般解为 ）。于是

880 第9章综合填空 1

原题

设 ，取顺时针方向，则

解析

先代曲线方程：在 上 是常数，把分母提出去：

现在被积函数处处光滑，可以放心用 Green（原来那个分母才是障碍，已经消掉了）：，顺时针取负号：

不是所有带 分母的题都要挖洞。 分母在 上是常数时，先提出去化为普通 Green 题， 比挖洞省事得多。判据：分母的零点在不在曲线所围区域内、以及分母在曲线上是否恒定。

1000 基础篇第18章 6

原题

若 是某函数 的全微分，则 。

解析

全微分 ：

于是 。先对 积分：，再用 定 ：

1000 基础篇第18章 8

原题

设 ， 与路径 无关， 有连续导数且 。 当 是从点 到点 的任一曲线时，。

解析

第一步：由路径无关定 。，令两者相等：，积分得，由 得 ，故，第二步：既然与路径无关，就走折线。 取 。

水平段（）：

竖直段（， 从 到 ）：

路径无关题的固定套路：定出抽象函数 → 换成水平竖直折线。 折线上必有一段 、一段 ，计算量直接减半。

1000 基础篇第18章 9

原题

设 是单连通有界闭区域， 取得最大值的积分域记为 。

（1）求 的值； （2）计算 ，其中 是 的正向边界。

解析

（1） 被积函数在 内为正、外为负，故把所有正值点收进来、负值点排除掉时积分最大：

（2） 记 。把被积式拆成两半：

中 ，故 是只含 的全微分， 沿任何闭曲线积分为零。

就是标准的挖洞型（可验证 ）。奇点 在 内，换成椭圆 （逆时针），其半轴为 ，面积 ：

1000 强化篇第18章 8

原题

设 ， 为 的正向边界，则

解析

与上一题同构，只是 。全微分那一半仍然贡献 ；剩下的挖洞换椭圆 ，半轴 ，面积 ：

两题连做，认出这个模板：分子里 与 的系数比恰好配得上分母 时， 那一半必是全微分、必然归零，真正要算的只有 这一项。

1000 强化篇第18章 18

原题

设 为从点 到点 的上半个圆周 ，则，

解析

不能补 轴上的线段——原点在那条线段上，被积函数在那里没有定义。改成拆成两个已知全微分：

第一项只看端点：，第二项是极角的总变化。路径全程在上半平面（ 时 ，不经过原点），

极角从 处的 连续减到 处的 ：

这道题值得单独记住： 和 是本节的两个基本积木， 前者是 ，后者是 。遇到分母 先试着往这两块上拆。

相关概念

• 路径无关、全微分与有洞区域
• Green、Gauss、Stokes §Green
• 计算技巧 §势函数