第一类曲面积分：投影与对称性

🏠 第18章概念导航 · 曲线曲面积分题库

方法选择

和第一类曲线积分是同一套流程的二维版，四步顺序完全一样：

1. 先把曲面方程代进被积函数——「在 上」 是恒等式。
2. 用对称性杀项——曲面无方向，对称性全部可用。
3. 常数被积函数直接乘面积；一次项用形心公式 。
4. 都不行才投影：。

曲面
显式
平面	（常数，可直接提出）
圆锥	（常数，圆锥题的最大便利）
上半球
柱面	（不能投影到 ，投影退化成一条线）

全章第 2 号坑

。那个根号是曲面被拉伸的比例，丢了就等于把曲面压扁成平面。 圆锥和平面之所以好算，正是因为这个根号是常数、能提到积分号外。

必考

880 第9章基础选择 2

原题

设 为球面 （ 均大于零），则 。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

球心 ，半径 ，面积 。球面的形心就是球心，由形心公式，同理另两项。故 ，选 。

C 是给”看见一次项就写零”的人准备的。一次项积分为零的前提是曲面关于该坐标面对称， 这里球心不在原点，条件不成立。

880 第9章基础选择 3

原题

设 ， 为 在第一卦限的部分，则（　）。

A. 　　B.

C. 　　D.

解析

上半球面关于 和 两个平面都对称，被它们分成四块全等的部分， 是其中之一。

「」成立的条件是被积函数在这四块上取值完全相同，即被积函数关于 与 都是偶函数。

• 、、 都是奇函数 → 左边为 ，右边不为 ，A、B、D 全错；
• 关于 、 都是偶函数 → C 成立。

选 。

880 第9章基础填空 1

原题

设 为平面 被圆柱面 截出的有限部分，则 。

解析

投影到 面得 。平面上 ，且， 关于两坐标轴都对称，故 ：

880 第9章基础填空 5

原题

设曲面 ，则 。

解析

正八面体表面，关于三个坐标面都对称。

、 是奇函数，。

在这个曲面上轮换对称，而在 上三者之和恒为 ：

八个全等三角形，每个的三个顶点是 型，边长 ，面积 ，故 。

880 第9章基础解答 11

原题

设曲面 为上半圆锥 被圆柱面 所截出的有限部分，计算，

解析

先代曲面方程：锥面上 ，

投影区域 关于 轴对称，奇次项全部消失。锥面的 ，于是，极坐标： 为 ，

880 第9章综合填空 3

原题

设曲面 ，其密度为 ，则曲面 的质量 。

解析

球面 ，球心 ，半径 ，面积 。

在 上 ，所以

一步都不用投影。「代方程 + 形心」是球面题的标准两拍。

880 第9章综合解答 13

原题

设曲面 为由圆柱面 、平面 和 所围立体的表面，计算 。

解析

立体的表面分三块（注意在 上 ，故顶面 ，立体确实存在）。

底面 ：被积函数为 ，贡献 。

顶面 （平面）：，，侧面（柱面，不能投影到 ）：用 ，， 从 到 ，

常规做法：侧面分两块，投影到 面

上面侧面用的是参数法。按教材的投影法来做，顶面 、底面 的计算不变，关键是把侧面 拆成，为什么要拆？ 对同一组 ，柱面上通常有正、负两个 。拆开后，每一块才能写成单值函数 。两块关于 面对称，被积函数 不变，所以算一块再乘 。

两块的投影都是三角形区域 。对任意一块，、，故

先积 ，再用 消掉根号：

其中 是奇函数，积分为 ； 用半角公式，积分为 。加回顶面和底面：

不能投影到 ，不等于不能用投影法。 本题柱面沿 轴延伸，换到 面、按 的正负分块，就能照常套面积元公式；别漏掉两块对应的系数 。

880 第9章综合解答 14

原题

设球面为 ，柱面为 ，球面在柱体内的面积为 ，柱面在球体内的面积为 ，求 。

解析

这是 Viviani 问题，两块面积各用各的投影方式。

（球面被柱切下的部分）：上半球 ，，投影 。上半部分

故 。

（柱面被球切下的部分）：柱面是半径 、圆心 的圆柱，用该圆的圆心角 参数化，

此时 ，故 的范围是

高度为 （ 时非负）。于是

常规做法： 取四分之一，投影到 面

沿用上面的计算，只把柱面面积 换成教材的投影法。柱面与球体都关于 、 面对称，故只算 的一块，再乘 。把这块曲面记为 。

第一步：写面积元。 由柱面方程得 ，于是

第二步：定投影范围。 在柱面上 ，代入“球体内”的条件，得 。又 、，所以投影区域是，这里不是上一题的三角形：上边界来自球面，投影边界是抛物线 。

第三步：先积 ，得到反正弦。

注意 ，令 ，便有 。所以

第四步：分部积分，反正弦就消掉了。 记括号内为 ，则 、，故边界项 。在 上，

于是

最后 ，与参数法一致。

这条路记住四件事：对称乘 、柱面写成 、球面条件定范围、反正弦用分部积分。 本题柱面在 上的投影退化成曲线，但分块后投影到 面，就能正常计算面积。

880 第9章综合解答 27

原题

设 ，计算 。

解析

球心 ，半径 ，面积 。平移到球心：令 ，则 变为单位球面 。

单位球面上由轮换对称，，且一次项积分为零。于是

偏心球的通法就是平移。 平移后一次项归零、平方项可用轮换，两步搞定。

1000 强化篇第18章 21

原题

设 为球面 被平面 所截下的顶部，计算 。

解析

记 。球冠关于 对称，而 关于 是奇函数，故第一项积分为 。

第二项用球坐标：，， 从 到 对应 ，

故原式 。

1000 强化篇第18章 26

原题

设 是柱面 介于平面 之间的部分，方向向外。记 ，，，则（　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

先看 ——它是第二类。 柱面分为 （外法向 分量为正）与 （为负）两半， 两半在 上投影相同，被积函数 在两半上取值也相同（只含 ），但符号相反，故， 是第一类，用 （半径为 ）：

，选 。

这道题专治”看到 就当第一类”。 是有向面积元，两侧抵消； 才是面积。 判据只看微元记号，不看积分号。

相关概念

• 五类多元积分计算技巧 §4
• 雅可比与面积元
• 多元积分对象、微元与方向