Gauss 公式：补面与奇点

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方法选择

拿到第二类曲面积分，按这个顺序问四句：

1. 先算散度。 散度是 或常数的话，整道题基本就做完了——很多题的设计就是让散度塌缩。
2. 闭不闭？ 不闭就补面，补最好算的那张（水平面、坐标面），算完减掉。
3. 补的面朝哪？ 补完必须凑成整体外侧。原曲面若给的是内侧，先整体变号。
4. 散度有没有奇点？ 有（典型是 型场）就挖球，换成小球面。

全章第 4、7 号坑

Gauss 只对闭曲面成立，非闭必须先补；补面上的积分要单独算出来再减掉，不能忘。 另外，平面上的第二类积分有两个分量自动为零：水平面 上 ， 因为它在 、 上的投影退化。这条能省掉大量计算。

三个必须记住的定型结果：

场	结论
	闭曲面上积分为 ；非闭时等于任一”补面”上的值取负
	（散度为 ）
	奇点在内则 ，在外则 （与曲面形状无关）

必考

1000 基础篇第18章 11

原题

设 为上半球体 的表面外侧，则，

解析

已经是闭曲面外侧，直接 Gauss。散度

球坐标（上半球 ）：

散度塌缩成 是最常见的设计——它在球坐标下就是 ，一步到底。 反过来看，题目里那些丑陋的 、 全是障眼法，求偏导时就没了。

1000 基础篇第18章 10

原题

已知 ， 为 的边界面且取外侧，则，

解析

注意 ，散度， 是沿 轴的圆柱，长 、半径 ，体积 。横截面上

故 。于是

这一项对 求偏导为零——它出现在 里纯粹是为了吓人。 散度只关心 对 、 对 、 对 ，其余变量一律当常数。

880 第9章基础解答 12

原题

设 为 介于 与 之间部分的下侧，计算，

解析

补面。 补 ：，取上侧。设 ， 则抛物面取下侧、顶盖取上侧，恰好合成 的外侧边界。

散度 。 关于 对称，；

补面上的积分： 是水平面，；

880 第9章基础解答 14

原题

设曲面 为 介于 与 之间的部分，取上侧，计算，

解析

先定方向。 锥面 的上侧单位法向量是 ， 径向分量为负，即指向轴线。而对圆台来说，侧面的外法向应当背离轴线，即锥面的下侧。所以，再补两个盖： 上侧（）与 下侧（），与 合成 的外侧。

散度 ； 是旋转体，关于 、 都对称，一次项积分为零：

两个盖的贡献都是 ：水平面上前两项自动为零，第三项

（圆盘关于 对称）。因此 ，

这道题的两个关卡都在”方向”上，散度反而最简单。先判侧、再补面、最后才算积分。

1000 基础篇第18章 13

原题

设 是曲线 绕 轴旋转而成的旋转曲面，取后侧，则，

解析

先算散度：，散度为零，所以闭曲面上积分必为零，只需把曲面补闭、再减掉补面。

旋转曲面为 （）。补 ：平面 上的圆盘 ，取前侧。 此时曲面取后侧、圆盘取前侧，合成外侧闭曲面，故

是垂直于 轴的平面，后两项自动为零；第一项（前侧取正号）：

散度为零是最值钱的信号：整个三重积分不用算，题目瞬间退化成”算一张平面上的积分”。 拿到题先花十秒算散度，这十秒经常能省掉二十分钟。

880 第9章基础解答 15

原题

设 是 所围成的圆柱体的全表面，计算，

解析

分母不是常数、散度会很丑，这题不用 Gauss，分三片直接算。

侧面（，外法向 ，故 ，）：分母 。 用 ，，

项因 而为零。

顶面（ 上侧）： 项为零；

底面（ 下侧）：同样的被积函数，但取下侧要变号，得 。

顶底相消不是巧合：被积函数 关于 是偶的，而两个盖的侧向相反。 判据：第二类积分中，“函数偶 + 侧向反” ⟹ 相消，这和第一类的对称性规则正好相反。

880 第9章综合解答 23

原题

设 为椭球面 外侧，计算，

解析

这是定型场。记 ，直接验证，三项相加得 （除原点外）。

原点在椭球内，挖球：取小球面 外侧，落在椭球内部。 在椭球与小球之间的区域上散度处处为零，故 。而在小球面上分母恒为 ：

和平面上 是同一个东西的三维版。 记住这一对：平面绕原点一圈得 ，空间包住原点得 ，都与曲线/曲面的形状无关。

880 第9章综合解答 26

原题

设曲面 为球面 与锥面 所围、且位于锥面上方部分的立体表面， 流速场为 ，求 从 内部流向外部的流量 。

解析

流量就是外侧的第二类曲面积分，直接 Gauss。散度

是绕 轴的旋转体，关于 与 都对称，故 的积分全为零。

球坐标：；锥面 。故

“流量”就是通量，只是物理说法。见到流速场、通量、流向外部，一律翻译成”外侧第二类曲面积分”。

1000 强化篇第18章 22

原题

设 是直线 绕直线 旋转一周所得的曲面， 是 介于平面 与 之间部分的外侧，计算，

解析

散度 。

是 轴绕 旋转所得的圆锥面，顶点在原点。锥的半顶角 满足 （ 轴与 的夹角），故 。

沿轴方向的坐标取 （即到顶点的距离）。两个平面对应 （顶点）与 。 在距顶点 处，截面半径 ，面积 。因此

补面只需一张： 处的圆盘 （ 处退化为顶点，面积为零）， 半径 ，面积 ，单位外法向 ：

（用了在该平面上 ）。于是

斜着放的锥不要试图投影到坐标面。 换成”沿轴距离 “这一个变量，截面面积写成 的函数， 体积就是一个一元积分。这个技巧在斜轴旋转体的题里通用。

相关概念

• Green、Gauss、Stokes §Gauss
• 计算技巧 §5
• 多元积分对象、微元与方向