考研笔记

Stokes 公式与空间环流

🏠 第18章概念导航 · 曲线曲面积分题库

方法选择

空间闭曲线的题，八成不用真的算 Stokes。 按这个顺序试：

  1. 先把曲线方程代进去降维。 交线题里总有一个面是平面（如 、）， 代进去后 直接消掉或换成 ，整道题塌成一个平面 Green 题。这是最高频的路。
  2. 拆掉恰当微分。 这种只含单变量的项，闭曲线上一律为零。
  3. 真要用 Stokes 时， 可以任选——挑最平的那张（平面片优先于曲面片）。
  4. 旋度是常向量的话（如 的 ）， 直接写成 ，问题退化成向量点积。

定向：右手法则的用法

的走向与 的法向按右手法则配对。「从 轴正向往下看逆时针」 法向朝上。 「从 轴正向看去顺时针」 法向指向 方向（背离观察者）。判错方向，答案只差一个负号，但这题就废了。

必考

880 第9章基础解答 9

原题

设曲线 为 与 的交线，从 轴正向看是逆时针方向，计算，

解析

交线是 。先代方程降维： 是常数，故 ，且第二项中 换成 ：，这已经是 平面上单位圆的平面积分（逆时针 = 正向），用 Green：

这就是”降维”路线的标准长相：三维闭曲线 → 代平面方程 → 二维 Green。 全章大多数空间曲线积分题都能这么走，Stokes 反而用得少。

1000 基础篇第18章 16

原题

设空间曲线 ，从 轴正向往 轴负向看， 的方向为逆时针，计算，

解析

第三项单独处理： 是恰当微分，沿闭曲线积分为 。

前两项只含 ，且 由 唯一确定，所以积分值等于其在 平面上的投影曲线 （逆时针）上的值。Green：，正方形 的对角线长都是 ，面积 ：

880 第9章基础解答 10

原题

设曲线 为锥面 与圆柱面 的交线，从 轴正向往负向看去 为逆时针方向，计算，

解析

这次两个面都不是平面，走 Stokes。，，取 为锥面 落在柱内的部分，取上侧（与逆时针配右手法则）。此时

锥面上

代入并展开：

投影区域 关于 轴对称，故

注意 这一对自动抵消——这是题目设计好的。 算 Stokes 时先把三项展开合并再积分，不要一项一项分别积，否则会被 卡住。

1000 强化篇第18章 10

原题

设 为球面 上的动点， 在点 处的法线与平面 平行。

（1）求点 的轨迹 的方程； （2）计算 ，从 轴正向看下去 取逆时针方向。

解析

（1） 球面为 ，在 处的法向量为 。 “法线与平面 平行”即法向量垂直于该平面的法向量 ：，代回球面方程消元：。故

（2） 代方程降维：，，投影是 面上的椭圆 （逆时针）。Green：，椭圆域关于两轴对称，一次项积分为零；半轴 ，面积 ：

1000 强化篇第18章 16

原题

设 为曲线 ，其中 且 ， 从 轴的正向看去 的方向为顺时针。当 为何值时最大？并求出最大值。

解析

旋度是常向量，这是本题的全部机关：，平面 即 ，过原点，故 是大圆，半径 ，

张成的圆面积 。平面的单位法向量为 。

定向：从 轴正向看去为顺时针 法向背离观察者，即 ，故

于是

  • 当 ：，且取不到端点；
  • 当 ：，在 处取最大。
时最大，

常旋度题的通法：，最大化就是让 尽量与 同向。 这里 ，而可选的 被限制在 分量为零的方向上， 所以最优解是 方向——对应 。几何上一眼能看出答案，代数只是验证。

1000 强化篇第18章 11

原题

已知 为曲面 的上侧， 为 的边界曲线， 其方向与 的正法向量满足右手法则，计算，

解析

（ 分量为零不是巧合： 与 这一对就是为了让它抵消而放的。）由 Stokes，，第二项投影到 （上侧取正），，。令 ：

第一项投影到 （外侧即前侧，取正），，：

1000 强化篇第18章 12

原题

设曲面 与平面 的交线为 ，起点为 ，终点为 ，则，

解析

这是非闭曲线，Stokes 用不上，老实参数化。

联立：（要求 ），平方得 。故，取 ，其中 保证 ；

对应 ， 对应 ，故 从 积到 。

后两项都是奇函数，在对称区间上积分为零；。故

含绝对值时先别慌： 整体仍是奇函数，对称区间直接归零。 判据是看整体奇偶，不是看有没有绝对值号。

1000 强化篇第18章 27

原题

设 ，，，其中 具有一阶连续导数。 为曲面 与平面 的交线，从 轴正向往下看为逆时针方向，计算 。

解析

三处都靠”在 上”化简，抽象函数全部消失。

其一： 上 ，故 是常数。

其二： 上 ，令 得，是只含 的函数，故 。

其三： 上 ，代入前两项：，投影曲线：，即 （圆心 ，），逆时针。Green：

平移 ，则 以原点为心，，一次项积分为零：

参数 消掉是这题的验算点——答案不该依赖 的具体值，因为 。 如果你算完 还在，回头查对称性那一步。

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