功、抽水与万有引力
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方法选择
- 抽水：。
- 变力做功：，积分变量必须与位移方向一致。
- 万有引力：先写质元与目标质点的距离，再将力投影到题目指定方向。
- 浸没物体缓慢取出：外力等于重力减浮力；露出液面的体积决定净外力。
必考
1000 基础篇第12章 4
原题
有一内表面为旋转抛物面的水缸, 其深为 (单位: 米), 缸口直径为 (单位: 米), 缸内盛满了水, 设水的密度为 (单位: 千克 / 立方米). 若以每秒 立方米的速率将缸中的水全部抽出, 问:
(1)共需多少时间?
(2)需做多少功?
解析
以缸底为 ，缸口为 。旋转抛物面满足 ，故高度 处的截面积为，水的总体积为，(1) 抽水速率为 ，所需时间为
(2) 高度 处薄层的体积为 ，提升到缸口的距离为 。所做的功为
1000 基础篇第12章 5
原题
在一个高为 的圆柱形容器内储存某种液体, 并将容器横放. 底面圆的方程为 (单位: ). 如果容器内存满了液体后, 以 的速率将液体从容器顶端抽出.
(1)当液面在y=0时,求液面下降的速率;
(2)如果 液体所受重力为 , 求抽完全部液体需做多少功?
解析
圆柱长度为 。设液面高度为 ，则高度 处的水平弦长为 ，故，(1) 抽出液体时 。在 时，，所以
(2) 高度 处薄层体积为 ，提升到容器顶端的距离为 。液体的重量密度为 ，故
含 的奇函数项在对称区间上的积分为零。
1000 强化篇第12章 3
原题
半径为 的球浸没在与其密度 相同的某液体中, 球与水面相切, 为重力加速度. 若将球取出, 所做的功至少为 ____.
解析
设球心相对液面的竖直坐标为 ，向上为正。取球时， 从 增加到 。令露出液面的球冠高度为，则 从 增加到 。球冠体积为，球与液体密度相同，缓慢提升时所需外力等于露出部分的重量：，因此最小功为
拓展
880 第3章综合解答 41
原题
将半径为 的球沉入水中, 它与水面相切, 设球的密度与水的密度相等, 现将球从水中取出, 问至少需要做功多少?
解析
球露出水面的球冠高度记为 。当球从刚好完全浸没提升到刚好完全离水时，。由于球与水的密度相同，缓慢提升所需外力等于露出水面部分的重量：，故至少需要做功
该结果也可写为 ，其中 。
880 第3章拓展题 2
原题
如图 3-3(a) 所示, 在水平放置的椭圆底柱形容器内存放液体 (密度为 , 单位: ), 容器长为 4 m, 椭圆方程为 (单位: m), 如图 3-3(b) 所示.
(a)
(b)
图3-3
（Ⅰ）当液面在过点 处的水平线时，问容器内液体的体积是多少？
（Ⅱ）当容器内存满了液体后，平均每分钟从容器顶端抽出 的液体，当液面降至 处时，求液体下降的速度.
（Ⅲ）问抽出全部液体需做多少功？
解析
高度为 的水平弦长为，容器长为 ，故液体薄层体积为 。
(Ⅰ) 液面高度为 时，
(Ⅱ) 由，在 时得到
(Ⅲ) 高度 处的液体需提升 。故
1000 基础篇第12章 1
原题
设沿 轴上的区间 放置一长度为 1 且线密度为 的均匀细杆, 在 轴上 处有一单位质点, 则该细杆对此质点的引力 ( 为引力常量) 沿 轴正向的分力为 ____.
解析
取细杆上点 处的质量元 。它与单位质点 的距离为 。引力沿 轴正向的有向分量为，因此
负号表示实际引力方向沿 轴负向。
1000 基础篇第12章 3
原题
将地面上质量为1的物体铅直向上举高, 记地球半径为 , 质量为 , 引力常数为 , 则物体摆脱地球引力所做的功至少为 ____.
解析
物体距地心为 时，所受引力大小为 。摆脱地球引力需将物体从 缓慢移到无穷远，故最小功为
1000 基础篇第12章 6
原题
设一单位质量细杆的长为 1, 为引力常数. 当质量为 的质点在细杆延长线上距杆右端点的 处移至 处时, 引力做功大小为 ( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
设质点到细杆右端的距离为 。取杆的坐标为 ，则引力大小为
质点由 移至 ，运动方向与引力方向相同，所以引力做功
选 。
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