运动路程、速度与变化率

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方法选择

• 位移：。
• 路程：，先找速度变号点。
• 平均速度：。
• 两物体相遇：研究相对位置 ，其导数为相对速度 。
• 几何量随时间变化：先写成位置参数的函数，再乘位置变化率。

必考

880 第3章基础填空 14

原题

设质点以速度 做直线运动，则质点从开始运动到停止运动经过的路程为 ____ m，它从 t = 0 到 t = 4 s 时间段内的平均速度为 ____ m/s.

解析

速度始终非负，并在 时趋于零。令 ，则 ，。总路程为

内的位移为

故平均速度为

1000 基础篇第8章 3

原题

甲、乙两人赛跑, 图中实线和虚线分别为甲和乙的速度曲线(单位: ), 三块阴影部分面积依次为 15, 20, 10, 且当 时, 甲在乙前面 处, 则在 上, 甲、乙相遇的次数为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析

记甲、乙的位置差为

图中三段相对速度的符号依次为负、正、负，对应的有向面积依次为 。因此在三个交点时刻，位置差依次为

在前两段中， 分别严格递减和严格递增，各穿过零点一次；第三段从 降至 ，没有零点。相遇次数为 ，选 。

速度曲线之间的面积给出位置差的变化量；相遇对应累计有向面积等于初始距离的相反数。

1000 基础篇第10章 8

原题

已知曲线 , 设 是 上的动点, 是 上从点 到点 的一段弧绕 轴旋转一周所得的旋转体体积, 当 运动到点 时, 沿 轴正向的速度为 1, 求此时 关于时间 的变化率.

解析

设动点 的横坐标为 。旋转体体积为，由链式法则，

当 、 时，

相关概念

• 相关变化率建模与链式法则
• 物理量的局部贡献与微元法