静水压力与压力最值

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方法选择

深度为、水平条带宽度为时，条带一侧承受的压力微元为，因此，其中是薄板形心到水面的深度。规则图形优先使用“面积乘形心深度”；宽度随深度变化或需要求变化率时，再写条带积分。

必考

1000 基础篇第12章 2

原题

边长为的正方形平板置于水面下, 且一个顶点与水面相齐, 其中一条对角线与水面垂直, 如图所示. 记水的密度为 , 重力加速度为 , 则其一侧所受的静水压力为 ____.

解析

正方形面积为，其形心位于两条对角线的交点。竖直对角线长为，故形心深度为。因此

1000 基础篇第12章 7

原题

直角三角板的斜边长度为 1 , 将该直角三角板竖直插入水中, 并使其中一个直角边与水面对齐, 当三角板受到水的压力最大时, 其水平直角边的长度为( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

设水平直角边长为，竖直直角边长为。斜边长为，故，三角板面积为，形心深度为。压力为

只需最大化。由，唯一内点最大值在处取得。故水平直角边长为，选。

1000 强化篇第12章 1

原题

一三角形平面薄板铅直地浸没于水中, 设当该薄板的一条边与水面相平齐时薄板一侧所受的水压力的大小为 , 当倒转薄板使原来与水面相平齐的那条边与水面平行而该边相对的顶点与水面相齐时薄板一侧所受的水压力的大小为 , 则( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

解析

设三角形面积为，与题设边对应的高为。

该边与水面相齐时，形心深度为，故，倒转后顶点与水面相齐，形心深度为，故，选。

1000 强化篇第12章 2

原题

边长为2的等边三角形薄平板铅直沉没在水中, 且一条边与水面相齐. 记重力加速度为 , 水的密度为 .

(1)求该平板一侧所受的水压力;

(2) 当水面开始以 0.1 的速度上涨时, 求平板一侧所受水压力的变化率.

解析

等边三角形的高和面积分别为，(1) 形心深度为，故

(2) 设水面上涨高度为。薄板全部浸没后，每个面积微元的深度都增加，所以，当时，

拓展

880 第3章综合解答 42

原题

设如图 3-2(a) 和 (b) 所示为同一等腰三角形薄板, 已知其底为、高为 , 将其垂直放入静水中, 图 (a) 是其底与水面相齐, 图 (b) 是其顶点与水面相齐, 设图 (a) 与图 (b) 薄板一侧所受压力分别为和 , 求 .

(a)

(b) 图3-2

解析

薄板面积为。

图（a）中底边与水面相齐，形心深度为；图（b）中顶点与水面相齐，形心深度为。因此

故

考研笔记