三重积分的立体区域与应用

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方法选择

两个旋转曲面围成立体时，先解交线，再写“下曲面上曲面”。
体积、质心和惯性矩统一写成、、。
含参圆柱体先在柱坐标中把径向积分化为上限函数，再求导。
复合物体的质心用代数矩相加；位于参考面两侧的静矩取相反符号。

必考

880 第6章基础填空 12

原题

设。球体被圆柱面所截得的、位于圆柱面内的立体体积为多少？

解析

柱面在极坐标下为，故

于是

880 第6章基础解答 11

原题

设，由曲面所围，求。

解析

两曲面交于。柱坐标下，因此

880 第6章基础解答 12

原题

设由曲面所围，计算。

解析

两曲面交于，区域为，故

880 第6章基础解答 13

原题

求曲面所围立体的体积。

解析

令，两曲面交线满足，解得。故

880 第6章基础解答 14

原题

设，是由球面共同围成的区域，计算。

解析

令。两球公共部分满足，于是，令，，得到

880 第6章综合解答 18

原题

设，其中连续，。求：

（I）；

（II）。

解析

圆柱底面半径为。柱坐标下先令，可直接得到关于的表达式：

因此

由积分平均值定理，，故

880 第6章综合解答 19

原题

设由平面及圆柱面所围，计算，

解析

柱坐标下需按分段：

化简得

880 第6章综合解答 20

原题

某均匀物体上部为半径的半球体，下部为底面半径、高为的直圆锥体，两者底面重合。问为何值时，物体质心恰在球心位置？

解析

以公共底面为，上半球位于，圆锥位于。上半球体积与质心为；圆锥体积与质心为，总质心位于等价于，即。因，故。

1000 基础篇第18章 2

原题

设由上半球面与曲面所围，求的形心竖坐标。

解析

两曲面交于。区域为，体积与对面的静矩分别为

故

1000 强化篇第18章 23

原题

锥面的顶点为，准线为，直线过顶点和准线上任一点。是与平面所围的锥体。求：

（1）和的方程；

（2）的形心坐标。

解析

（1）取参数，母线为，由消去：

（2）底面圆心为。均匀实心锥体的质心在线段上，距底面为高的，故

考研笔记