球坐标与体积元

它解决什么问题

球坐标解决的是这类空间积分：

本质上，球坐标是在用“离原点多远 + 朝哪个空间方向”来定位一个点。

球坐标通常写成，其中：

对应关系为

常用范围：，体积元为，

在球坐标的小盒子里，三个方向的小长度分别是：

第三个长度来自水平纬线圆半径。固定时，点绕轴旋转，所在水平圆的半径为，所以小体积为

若，球坐标下就是

圆锥在柱坐标中是，在球坐标中是，所以，因此圆锥常常会把变成常数边界。

因为，所以被积函数如果含这个结构，球坐标通常会明显简化。

球坐标可以看成从柱坐标继续升级： $柱坐标$ ，再把这对平面变量极坐标化：，也就是：

球 坐 标 柱 坐 标 中 的 再 极 坐 标 化

交互式图：

二维极坐标是：，面积元是；球坐标体积元中的是三维坐标变换的雅可比缩放因子。