三重积分的对称性与坐标系

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方法选择

平移后的球体先找球心；一次函数在中心对称区域上的平均值等于球心处的函数值。
绕轴的圆柱、圆锥、旋转曲面优先用柱坐标，体积元为。
球、球冠、球与圆锥的交域优先比较柱坐标和球坐标的边界复杂度。
积分区域关于某坐标面对称时，含该变量的奇次项积分为零；平方项可借轮换对称合并。

必考

880 第6章基础选择 6

原题

设，是位于第一卦限的部分，则（）。

解析

关于、对称，在四个竖直卦限中的积分相等，故，、、在上的积分均为零，而它们在上的积分不为零。选。

880 第6章基础填空 11

原题

设，则，

解析

配方得，球心为。令，则区域关于原点中心对称，且，三个一次项的积分均为零，故。

880 第6章综合填空 6

原题

设由所围，计算，

解析

柱坐标下。因，分母中的与体积元相消：

880 第6章综合填空 7

原题

计算，

解析

积分域为。先对积分，固定时长度为：，令，再交换的次序：

880 第6章综合填空 8

原题

设由曲面、平面及所围，则，

解析

固定，截面为的圆盘，面积为。因此

880 第6章综合填空 9

原题

设由曲面与所围，则，

解析

区域关于对称，故。两曲面交于，柱坐标下

880 第6章综合解答 17

原题

设，求，

解析

全球关于坐标轮换对称，且关于均为偶函数。因此三个平方项在上半球中的积分都等于相应全球积分的一半：，全球上

故上半球上每个坐标平方的积分为。于是

1000 基础篇第18章 1

原题

设平面曲线绕轴旋转一周所得空间曲面与平面围成空间区域，求，

解析

绕轴取柱坐标。旋转曲面为，故，于是

1000 强化篇第18章 1

原题

设，求，

解析

第一卦限球体对具有轮换对称性。单位球上，第一卦限取其八分之一，故每个平方项的积分为。原积分为

1000 强化篇第18章 4

原题

有界闭区域由锥面与平面围成，计算，

解析

柱坐标下。展开平方后，的相关项由圆周对称性消失，只保留，因此

考研笔记