积分方程、函数方程与分段原函数
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方法选择
- 出现 时设 ，把乘积识别成 。
- 反函数积分使用面积恒等式，常可直接消去反函数。
- 函数方程同时写出 与对称点 的方程，再解二元一次方程组。
- 分段函数存在全局原函数时，各段原函数除导数正确外，还必须在分界点连续。
必考
880 第3章基础填空 4
原题
设 在 上可导, 的反函数为 , 若 , 则 ____.
解析
令 ，并使用反函数面积公式：，两端求导得，由 积分可得，故 。
880 第3章综合解答 8
原题
设 在 上连续，且满足
求函数 及其极值.
解析
令 ，并作换元 ：
对 求导：，因此
，所以 为极小值点，极小值为 ；端点 处取得最大值 。
880 第3章综合解答 10
原题
设 在 上可导，且 ，证明：至少存在一点 ，使得 .
解析
先令 ：，对 求导并取 ：，由 ，得 。令，则 。Rolle 定理给出 使 ，再对 在 上使用 Rolle 定理，存在 使 。
1000 基础篇第9章 27
原题
若 ，则 ____.
解析
设 ，则，在 上积分得 ，所以 。故
1000 基础篇第9章 31
原题
函数 的一个原函数为( ).
(A)
(B)
(C)
(D)
解析
左段的原函数应含 ，右段的原函数应含 。全局原函数还需在 连续。只有 D 的两侧极限都等于 ，故选 。
1000 基础篇第9章 34
原题
设 满足 ， ，则 ____.
解析
由初值条件，交换积分次序：
1000 强化篇第8章 8
原题
设 ，求 的表达式.
解析
设 ，则 。代回 的定义：，即 。所以 或 ，对应
或
1000 强化篇第8章 17
原题
设 满足 .
(1) 求 的表达式及定义域;
(2) 记 ，求 .
解析
原方程可化为，由 ，得，在 处连续补为 。包含初值点的最大定义区间为 。
因为 在 连续，
1000 强化篇第9章 4
原题
设函数 满足方程 ，求 .
解析
将 换成 ，与原方程联立，解得
因为 ，所以
1000 强化篇第9章 14
原题
设 为 上的连续可导函数， ，且 . 求 .
解析
注意 ，故，积分并利用 ：，，所以
1000 强化篇第9章 22
原题
设 , 求 .
解析
当 时，，故，当 时，只有 有贡献：，因此
1000 强化篇第9章 27
原题
设 满足 且 .
(1) 求 的表达式;
(2) 计算 .
解析
令 ，则，由 得
记 。利用 ，将 与 配对：
1000 强化篇第10章 12
原题
设 在 内非负连续，且 ，求 在 上的平均值.
解析
令 、。换元 后，题设化为，所以 ，由 得，因此
1000 强化篇第10章 15
原题
设函数 非负连续, 且 , 则 在区间 上的平均值为 ____.
解析
设 。对 ，，故 ，从而 。由非负性，，所以 。区间 上的平均值为
1000 强化篇第10章 16
原题
设 为 上的非负连续函数，且满足 ，则 在区间 上的平均值为 ____.
解析
令 ，换元 得，同样得到 、。因此 上的平均值为
补充题
平移差分与滑动积分
原题
设连续，且
求在上的平均值。
解析
构造长度为的滑动积分，则，由，得。所以，区间长度为，平均值为。
反函数面积恒等式
原题
设是可微函数的反函数，且。证明
解析
记，由，
从积分到并分部积分：
再对积分，并交换第二项的积分次序：
结论成立。
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